Формула вероятности произведения событий

(теорема умножения вероятностей). Независимые события

Из формулы условной вероятности следует

теорема умножения вероятностей Р(АВ) = Р(В)·Р(А/В) = Р(А)·Р(В/А).

Вероятность совместного наступления двух событий (вероятность произведения этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий.

.

Событие А будем называть независимым от события В, если P(A/B) = P(A), т.е. если условная вероятность равна безусловной.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность другого. В противном случае события называются зависимыми.

События А₁, А₂,…, А_n называются независимыми в совокупности, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей

.

Можно показать, что из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности

Пример 1. Наугад вытаскивается одна карта из тщательно перетасованной колоды в 36 карт.

А – вытащенная карта – дама; 4/36 = 1/9;

1) Дополнительная информация: произошло событие В – вытащена карта бубновой масти, 1/4, =1/36. А и В – независимы.

2) Дополнительная информация: произошло событие С – вытащена «картинка» (валеты, дамы, короли), =12/36, =4/36.

А и C – зависимы.

Пример 2. На плотной бумаге написано слово «стипендия»

Разрезав надпись на буквы и перемешав их, вытаскиваем наугад шесть букв.

Какова вероятность того, что из вытащенных букв в порядке вытаскивания получится слово «пенсия»?

Р(«пенсия») = Р(п)·Ре/п)·Р(н/пе)·Р(с/пен)·Р(и/пенс)·Р(я/пенси) =

= 1/9· 1/8 · 1/7 · 1/6 · 2/5 · = 1/30240

Решая эту задачу методами комбинаторики, получим

Р(«пенсия») = .