АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕГУЛЯТОРЫ

Субъективность выбора интервалов и лингвистических переменных и связанное с ней снижение качества управления могут быть в значительной степени устранены в так называемых аналитических нечетких регуляторах и системах управления, работоспособность которых обеспечивается известными аналитическими и численными методами параметрической идентификации, анализа и синтеза линейных и нелинейных систем с привлечением нечетких динамических моделей.

Особое место занимает так называемая нечеткая модель Тагачи и Суджено или TS-модель. Сначала аналитическим путем, а затем в конкретных задачах моделирования и управления (в качестве регулятора) были продемонстрированы ее высокие аппроксимационные способности. Нечеткая TS-модель состоит из совокупности продукционных правил, содержащих в правой части линейные разностные уравнения

если есть ,…, есть , (16)

есть ,…, есть ,

то , ,

где – векторы настраиваемых параметров; y(t – r) = (1, y(t – 1),…, y(t – r)) – вектор состояния; x(t – s) = (x(t), x(t – 1),…, x(t – s)) – входной вектор; – нечеткие множества.

Выражение (19) можно значительно упростить, если переобозначить входные переменные

(u₀(t), u₁(t), …, u_m(t)) = (1, y(t – 1), …, y(t – r), x(t),…, x(t – s)),

коэффициенты разностного уравнения

и функции принадлежности

где m = r+s+1.

Аналитическая форма нечеткой модели (16), предназначенная для вычисления выхода , имеет вид , где – вектор уточняемых параметров; ) – расширенный входной вектор; – нечеткая функция, где Ä – операция минимизации или произведения.

При заданных в начальный момент t = 0 векторе с(0) = 0, корректирующей матрице Q(0) размером nm´nm и значениях u(t) в моменты времени вектор параметров с(t) вычисляется с помощью известного многошагового метода наименьших квадратов

, (17)

(18)

где I – единичная диагональная матрица.

Полный алгоритм идентификации, помимо алгоритма (17), (18), содержит также алгоритмы идентификации количества правил n, порядка r, s разностного уравнения и параметров функций принадлежности.

Появление TS-модели оказало огромное влияние на последующее развитие теории нечетких систем управления:

· среди нечетких моделей для нее впервые стало правомерным применение традиционной параметрической идентификации;

· несмотря на присутствие в правой части правил линейных разностных уравнений в TS-модели, посредством уточнения параметров с, порядка r, s и увеличения количества правил n удается описать с очень высокой точностью нелинейные динамические процессы;

· усредняющие свойства механизма вывода у и специфический вид функций принадлежности позволяют сделать TS-модель мало чувствительной к помехам и погрешностям измерений;

· будучи нелинейной и непрерывной функцией входных переменных и параметров, TS-модель предоставляет широкие возможности аналитического исследования устойчивости нелинейных систем с ее присутствием и последующего их обучения с целью получения требуемого качества переходных процессов.

Для замкнутой системы управления с нечетким регулятором на базе модели (16) также актуальна проблема устойчивости и ее количественной оценки. В духе классического представления линейных систем Танака и Суджено предложили нечеткий блок (рис. 6) – динамический объект, описываемый нечеткой разностной моделью (16) в векторной форме

Rⁱ: если у(t) есть Y ⁱи х(t) есть Х ⁱ,

то , (19)

где у(t) = [y(t), y(t – 1),…, y(t – r + 1)]^T, х(t) = [x(t),

x(t – 1),…, x(t – s + 1)]^T; ; r, s – порядок разностного уравнения; у(t) есть Y ^IÞ y(t) есть и … и y(t – r + 1) есть .

Из таких блоков формируются различные соединения (параллельные и с обратной связью) и выводятся их математические модели.

Например, соединение с обратной связью (рис. 7), содержащее блоки объекта

Рис. 7. Схема соединения с обратной связью и его математическая модель

: если у(t) есть и e(t) есть ,

то

и регулятора

: если у(t) есть и e(t) есть , (20)

то

эквивалентно блоку

: если у(t) есть и e(t) есть ,

то ,

где i = 1, 2,.., n₁, j = 1, 2,.., n₂; ;

Вывод аналитических оценок устойчивости нечетких систем (19) и (20) осуществляется с помощью метода Ляпунова на основании уравнения свободного движения

: если у(t) есть и y(t – r + 1) есть , (21)

то , ,

правую часть которого можно записать в матричной форме A_iy(t), где ,

нечеткая система (21), представленная расчетной зависимостью

является асимптотически устойчивой в глобальном смысле, если для всех подсистем существует положительно определенная матрица В такая, что

Справедливость этой оценки была подтверждена лишь для самого простого пропорционального регулятора.

Близкий подход к анализу устойчивости, опирающийся на методы Ляпунова, для нечеткой системы в пространстве состояний

: если у₁(t) есть ,…, y_r(t) есть , то x(t) есть X ⁱ, то

…

и получена аналитическая оценка устойчивости замкнутой системы с пропорциональным регулятором. Для достижения устойчивости предлагается методом градиентов уточнять параметры и коэффициент усиления регулятора.

Аналогичные подходы к анализу устойчивости нечетких систем, использующие методы Ляпунова с последующим синтезом регуляторов, изложены в работах. Ограниченность метода Ляпунова очевидна: он позволяет реализовать устойчивость системы управления лишь самыми простыми пропорциональными регуляторами и не дает рекомендаций по достижению требуемого качества переходных процессов. Функции поддержания качества переходных процессов в нечетких системах управления могут обеспечить нечеткие обучаемые регуляторы и системы управления.