Пусть дана вещественная квадратичная форма
Тогда имеет место следующее утверждение:
а) 
– функция Ляпунова, допускающая бесконечный предел в целом.
б) имеет место так называемый критерий Сильвестра.
Критерий Сильвестра.
1. Квадратичная форма 
является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные последовательные диагональные миноры матрицы Р квадратичной формы 
строго положительны, т. е. для матрицы вида
имеют место следующие неравенства:
(1.5.4)
2. Квадратичная форма 
является отрицательно определенной функцией Ляпунова тогда и только тогда, когда главные последовательные диагональные миноры матрицы 
имеют перемежающиеся знаки, а именно:
. (1.5.5)
(в) Вещественная симметричная матрица , 
всегда имеет только вещественные собственные значения - корни характеристического многочлена матрицы вида:
(1.5.6)
где 
- формальная скалярная переменная, Е – единичная матрица.
(г) Для любой квадратичной формы
имеет место следующая двусторонняя оценка:
(1.5.7)
где 
— векторная евклидова норма ( 
— норма) 
, 
— соответственно, наименьшее и наибольшее собственные значения симметричной матрицы P (без доказательства).■
Замечание. Поскольку вещественная квадратичная форма однозначно определяется матрицей 
, то зачастую пишут 
, имея ввиду, что матрица P определяет положительно определенную или отрицательно определенную вещественную квадратичную форму.■
