Утверждение (о построении симметричных матриц).

а) Пусть — любая вещественная квадратичная матрица. Тогда = P= - вещественная симметричная матрица, а если, вдобавок, (rank←D=n) (говорят, D - неособенная, или невырожденная квадратная матрица, или матрица полного ранга) то - положительно определенная.

б) Любая квадратная вещественная матрица допускает следующее разложение:

, где — симметричная матрица;

— кососимметричная матрица и имеет место следующее равенство:

, причем (1.5.8)

т.е. с помощью любой вещественной квадратной матрицы можно построить некоторую квадратичную форму.

Приведенные утверждения легко проверить непосредственными вычислениями. ■

Примеры частных видов функций Ляпунова

1.Пусть дана

Рисунок 3

.

Рисунок 4

Рисунок 5

Утверждение. Отметим, что в примерах (1)÷(3) построенные функции Ляпунова определялись следующими матрицами:

1.

2.

3. ■

5.

Допускает БМВП при (знакопостоянная положительная).

6.

Ограничена, знакопостоянная положительная; но не равномерно по t, следовательно, не допускает БМВП при

7. Положительно определенная; не допускает БМВП при

8. . Положительно определенная внутри шара единичного радиуса, допускает БМВП при

1.6 Полная производная по времени t функции Ляпунова, вычисленная в силу системы

Пусть дана нелинейная нестационарная система дифференциальных уравнений вида:

(1.6.1)

с областью определения

(1.6.2)

Причем в этой области функция :

(а) ) непрерывна по t, x;

(б) имеет непрерывные частные производные вида , (1.1.4) ограниченные равномерно по на любом компактном подмно-

жестве из области (или говорят кратко, непрерывно

дифференцируемы по );

в) , т.е. система допускает тривиальное решение

Условия (1.6.3) означают, что область (1.6.2) есть область единственности для системы (1.6.1).

Пусть также дана функция Ляпунова вида , определенная в некоторой области , и пусть функция Ляпунова вида – непрерывно дифференцируема по t, x в , т.е. усиливаем свойства ее непрерывности, задаваемыми введенным выше определением функции Ляпунова.

Вычислим полную производную по времени как сложную функцию аргументов t, x. Введем обозначения

Тогда

Подставляя в последнее выражение для в силу системы (1.6.1), получим:

(1.6.4)

Здесь введена вектор-функция – градиент скалярной-функции по вектору x вида:

(1.6.5)

Определение. Выражение (1.6.4) называется полной производной по времени t функции Ляпунова , вычисленной в силу приведенной системы (1.6.1).■

Замечание 1. Если есть произвольное решение системы (1.6.1), то , в силу выражения (1.6.4), представляет собой полную производную по времени t сложной функции , т.е.

.■ (1.6.6)

Замечание 2. Заметим, что если функции Ляпунова из формулы полной производной (1.6.4) не придать дополнительные свойства непрерывной дифференцируемости по t и x , то из формулы (1.6.6) могут не следовать формулы (1.6.4), (1.6.5), так как для ) не будет удовлетворяться требование непрерывности по t , xкней как к функции Ляпунова. ■