Геометрическая интерпретация знакоопределенной функции.

Пусть дана положительно определенная функция Ляпунова - и найдена , такая, что .

Предположим, что поверхности уровня вида

=С (С=const, (1.4.10)

в пространстве представляют собой семейство непрерывных замкнутых поверхностей, окружающих начало координат 0 и монотонно расширяющихся при росте параметра (рисунок 2). Тогда очевидно, что каждая поверхность уровня вида

(1.4.11)

для любого будет целиком расположена внутри соответствующей поверхности уровня (см. рисунок 2).

Рисунок 2

Определение 5. Функция Ляпунова вида называется функцией, допускающей бесконечно малый высший предел (БМВП) при если существует предел равномерный на , т.е. по выбор которого не зависит от выбора , такое, что при будет (начиная с некоторого ).■

Определение 6.Функция Ляпунова вида называется функцией, допускающей бесконечно большой низший предел (ББНП) при если существует предельное соотношение , равномерное на , т. е. по любому числу найдется другое число выбор которого не зависит от выбора , такое, что при начиная с некоторого .■

Замечание. Корректное определение функции Ляпунова, допускающей ББНП при , должно опираться на систему, областью определения которой должно служить все , т.е.:

. (1.4.12)

При этом говорят, что система определена на всем .■

Определение 7. Функция Ляпунова , допускающая БМВП при и ББНП при называется функцией Ляпунова, допускающей бесконечный предел в целом (глобальный бесконечный предел). ■

Определение 8. Функция Ляпунова называется функцией, допускающей сильный БМВП при , если найдется независимая от времени положительно определенная функция Ляпунова , такая, что имеет место неравенство:

(1.4.13)

Замечание. Очевидно, что функция Ляпунова, не зависящая от времени, всегда имеет БМВП при (в силу того, что функция Ляпунова непрерывна по х и ■

Замечание.Для функции Ляпунова, зависящей от времени, можно практиковать такую двухстороннюю запись:

(1.4.14)

где – положительно определенные не зависящие от времени функции Ляпунова.

Такая запись (1.4.14) означает, что функция Ляпунова - положительно определенная и допускает сильный БМВП при .■

Примеры функций Ляпунова

1.5.1 Функции класса К, или функции Хана

Определение. Множество скалярных функций скалярного аргумента вида называется множеством функций вида К, или множеством функций Хана, , если они обладают следующими свойствами:

1) – вещественная функция вещественного аргумента

2) - непрерывна по аргументу r;

3)

4) – строго (монотонно) возрастающая функция, (1.5.1)

т.е.

5) при

Утверждение. Для системы (1.4.1), если она определена на всем , функция Хана есть функция Ляпунова, допускающая бесконечный предел в целом (следует из определений).■