Функции Ляпунова

Пусть дана приведенная система

(1.4.1)

с областью определения fвида

(1.4.2)

причем fудовлетворяет свойствам (1.1.9), т.е. непрерывна по t и xи непрерывно дифференцируема по x.Кроме того, введем дополнительное ограничительное условие для f:

(1.4.3)

т.е. система (1.4.1) допускает тривиальное решение.

Определение 1.Скалярная вещественная функция векторного аргумента xи времени t вида

(1.4.4)

определенная в некоторой области

(1.4.5)

такой, что называется функцией Ляпунова (ФЛ) для системы(1.4.1) в области (короче, функцией Ляпунова) если она удовлетворяет следующим требованиям (свойствам):

а) - скалярная вещественная функция (скалярную функцию векторных аргументов часто называют функционалом);

б) - непрерывная функция по t и x;

в) ■

Определение 2. Функция Ляпунова называется знакопостояннойв области , а именно:

(а) знакопостоянной положительной (знакоположительной), если в области ;

(б) знакопостоянной отрицательной (знакоотрицательной), если в области .■

Определение 3. Функция Ляпунова , не зависящая от времени, называется знакоопределенной в области , а именно:

(а) положительно определенной (определенно положительной) в области , если

(б) отрицательно определенными (определенно отрицательной) в области , если ■

Определение 4. Функция Ляпунова вида , зависящая от времени, называется знакоопределенной в области , а именно:

а) положительно определенной в области , если выполнено неравенство:

где – не зависящая от времени положительно определенная функция Ляпунова, удовлетворяющая определению 3, т.е.

б) отрицательно определенной в области , если выполнено неравенство

где .■

Таким образом, для зависящих от времени знакоопределенных функций Ляпунова в области выполняется неравенство

, (1.4.6)

где - не зависящая от времени положительно определенная функция Ляпунова.

Полезное правило. Согласно определению 4, критерием, определяющим свойство положительной определенности функции Ляпунова, зависящей от времени, является некоторая не зависящая от времени положительно определенная функция , которую необходимо найти. Укажем один из приемов ее построения.

Пусть дана зависящая от времени функция Ляпунова в области . Если может быть построена в той же в области не зависимая от времени функция вида

, (1.4.7)

где inf (инфинум) – точная нижняя грань множества всех значений по (а точная верхняя грань обозначается как sup (супремум), то ее можно взять в качестве в определении 4 для исследования знакоопределенности функции , а именно, из (1.4.7) очевидно, что:

(1.4.8)

Пример применения полезного правила. Рассмотрим в функцию Ляпунова вида

(1.4.9)

1. При функция (1.4.9) является положительно определенной в , так как

при и

Действительно, из следует . Тогда, усиливая неравенство, получим

Очевидно, что здесь для функции (1.4.9) найдена не зависящая от времени функция Ляпунова такая что при

2. При функция лишь знакопостоянная положительная.□