Приведенная (по Ляпунову) система

В математических методах исследования устойчивости систем нелинейных и нестационарных дифференциальных уравнений с помощью второго (или прямого) метода Ляпунова имеют дело только с системами, допускающими тривиальное решение. Рассмотрим формальную процедуру приведения задачи исследования свойств устойчивости произвольного фиксированного решения системы к задаче исследования тривиального решения эквивалентной системы, допускающей тривиальное решение. Такую эквивалентную систему и будем называть (вслед за Ляпуновым) приведенной.

Пусть дана конечномерная гладкая динамическая система с непрерывным временем вида

(1.3.1)

и дано некоторое ее фиксированное решение , подлежащее исследованию.

Введем обозначение новой переменной

где - любое решение системы (1.3.1), т.е. есть отклонение произвольного решения от решения . Тогда, так как

Получим дифференциальное уравнение для отклонений вида

(1.3.2)

где обозначено:

Получили некоторую «новую» систему (1.3.2), эквивалентную «старой» системе (1.3.1), путем исключения из «старой» системы (1.3.1) некоторого решения , которое считаем известным и устойчивость которого подлежит исследованию. Очевидно, что система (1.3.2) допускает (в силу построения) тривиальное решение , что легко проверить его подстановкой.

Таким образом, привели задачу исследования устойчивости произвольного известного решения системы (1.3.1) к задаче исследования устойчивости тривиального решения (положения равновесия) так называемой «приведенной» системы (1.3.2) (по Ляпунову она называется также системой уравнений возмущенного движения, а решение - невозмущенным движением).