Возможными (виртуальными) перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данное мгновение наложенными на систему связями.
Такие перемещения рассматриваются как величины первого порядка малости. Поэтому криволинейные перемещения точек заменяются прямолинейными отрезками, отложенными по касательной к траектории точки, и обозначают ds.
Тогда для перемещений точек А, В механизма на рис. 17.1 можно записать
dsA=OA*dj; dsB=OB*dj.
Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными. Для них справедливо
SRidsicos(Ri, dsi)=0. (17-3)
Пусть тело может скользить между параллельными гладкими поверхностями (рис. 17.2). Сообщим телу возможные перемещения и вычислим работу реакций связей на этом перемещении.
Рис. 17.2
Считая, что давление тела передается на нижнюю поверхность, приложим к телу нормальную реакцию этой поверхности N. Возможные перемещения точки приложения этой силы ds лежат в плоскости, касательной к опорной поверхности.
Работа силы N на перемещении ds равна:
Nds cos (N, ds)= Nds cos 90° = 0.
Следовательно, рассматриваемая двусторонняя связь является идеальной, т.к. условие (17-3) выполнено.
Пусть теперь тело скользит между параллельными шероховатыми поверхностями (рис.17.3). Тогда реакция плоскости R состоит из нормальной реакции N и силы трения F.
Рис.17.3
Найдем сумму работ составляющих реакций на возможном перемещении ds
Nds*cos(N, ds)+ Fds*cos(F, ds) =
= Nds*cos90°+ Fds*cos 180°=
= - Fds¹0.
Следовательно, рассматриваемая двусторонняя связь не является идеальной, т.к. условие (17-3) не выполнено. Если же перевести силы трения из группы реакций связей в группу задаваемых сил, то сумма работ реакций (без сил трения) на возможных перемещениях будет равна нулю, т.е. условие (7-3) будет выполнено.
Если тело катится по неподвижной шероховатой поверхности без скольжения, то линия соприкосновения тел является мгновенной осью вращения. Скорости точек соприкасания тел равны нулю, и поэтому возможные перемещения этих точек равны нулю. В этом случае ds=0 и работа реакции R, являющейся геометрической суммой нормальной составляющей и силы сцепления на этом перемещении равна нулю.
Т.О. шероховатая поверхность, по которой катится без скольжения тело, также удовлетворяет условию (7-3).
Это условие идеальности связи относится как к двусторонним, так и односторонним связям. Однако в последнем случае, должны рассматриваться лишь неосвобождающие возможные перемещения, которые оставались бы возможным и в случае, если бы данная связь была двусторонней.
При решении задач статики для определения реакций связей использовались уравнения равновесия твердого тела. При этом реакции связей не выделялись из общего числа приложенных к телу сил. В сложных несвободных механических системах определение реакций связей по этой методике становится громоздким и поэтому мало пригодным. В таких случаях используют принцип возможных перемещений:
Необходимое и достаточное условие равновесия системы сил, приложенных к механической системе, подчиненной стационарным, двусторонним и идеальным связям, заключается в равенстве нулю суммы элементарных работ задаваемых сил на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого ее положения.
Применение принципа возможных перемещений.
Клиновой пресс.
Установим зависимость между движущей силой Р, приложенной к клину, и силой сопротивления R сжимаемого тела при помощи принципа возможных перемещений.
Рис. 17.4 Рис. 17.5
Для этого сообщим системе возможное перемещение, указанное тонкой линией на рис. 17.4, и составим уравнение работ в виде
SPidsicos(Pi, dsi)=0, т.е. PdsP - RdsR= 0. (17-5)
Зависимость между возможными перемещениями точек приложения сил Р и R установим из треугольника перемещений СС1D (рис.17.5)
dsR=2dsР tg a.
Подставим это значение dsR в уравнение работ (17-5)
PdsP - 2RdsР tg a= 0.
Из решения следует
P = 2R tg a.
17.3. Общее уравнение динамики.
Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить и к решению задач динамики.
На основании принципа Германа- Эйлера- Даламбера для несвободной механической системы в любое мгновение геометрическая сумма равнодействующей задаваемых сил, равнодействующей реакций связей и силы инерции для каждой точки Мi механической системы равна нулю,
Pi+ Ri+ Фi= 0, (i=1,2…..n). (17-6)
Если система получает возможное перемещение, при котором каждая точка имеет возможное перемещение dsi, то сумма работ этих сил на перемещении dsi должна быть равна нулю
Положим, что все связи в рассматриваемой механической системе двусторонние и идеальные (силы трения, если имеются, отнесены к числу задаваемых сил). Тогда сумма работ реакций связей на возможных перемещениях равна нулю
SRidsicos(Ri, dsi)=0.
В этом случае уравнение (17-7) будет
SPidsicos(Pi, dsi)+ SФidsicos(Фi, dsi)= 0. (17-8)
Уравнение (17-8) называется общим уравнением динамики. Из него следует, что в любое мгновение сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом возможном перемещении равна нулю.
Так как возможное перемещение не обязательно направлено в сторону ее действительного движения, то возможное приращение радиуса-вектора dri не всегда равно действительному приращению радиуса-ветора точки dri.
Работу задаваемых сил Pi и сил инерции Фi на возможных перемещения точек системы dri можно представить в виде скалярных произведений
Общее уравнение (17-11) позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Если система состоит из отдельных твердых тел, то силы инерции каждого тела можно привести к силе , приложенной в некоторой точке тела, и паре сил. Сила равна главному вектору сил инерции точек этого тела, а момент пары равен главному моменту этих сил относительно центра приведения.
Чтобы воспользоваться принципом возможных перемещений, к каждому телу прикладывают действующие на него заданные силы , а также силу и пару, составленные, силами инерции точек тела. Затем системе сообщают возможное перемещение и для всей совокупности задаваемых сил и приведенных сил инерции составляют уравнение (17-8) или (17-11).
Если среди связей системы имеются односторонние, то для применения общего уравнения динамики необходимо, чтобы возможные перемещения системы не были освобождающими.
17.4.Общее уравнение динамики в обобщенных силах.
Преобразуем общее уравнение динамики (17-9) S(Pi + Фi)* dri= 0.
Подставим сюда наиболее общие возможные перемещения точек системы dri, вызванные одновременными бесконечно малыми перемещениями всех обобщенных координат системы. Эти перемещения равны геометрической сумме возможных перемещений, вызванных приращениями отдельных обобщенных координат, т.е.
dri= i.
Общее уравнение динамики примет вид
i = 0. (17-12)
Суммируем сначала по точкам системы (i=1, 2…..n), а затем по обобщенным координатам (j=1,2……..s)
= 0,
или
[)+)]= 0. (17-13)
Здесь
)=Qi – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате qj. Сумма ) = QФj является обобщенной силой инерции, соответствующей обобщенной координате qj.
Таким образом, получим следующее общее уравнение динамики
) d qj= 0. (17-14)
Приращения обобщенных координат d qj произвольны и не зависят друг от друга. Поэтому в полученном уравнении все коэффициенты при этих приращениях должны быть равны нулю.
Если силы, действующие на механическую систему, уравновешиваются, т.е. механическая система находится в состоянии покоя, или все ее точки движутся прямолинейно и равномерно, то силы инерции ее точек раны нулю. Следовательно, и обобщенные силы инерции равны нулю.
Тогда уравнение (17-15) принимает вид
Qj= 0 (j= 1,2, ……n). (17-16)
Равенство (17-16) выражает условие равновесия сил в обобщенных силах.
Преобразуем условия равновесия (17-16) для консервативных сил, т.е. для сил, имеющих потенциал. Для любой системы сил условия равновесия имеют вид
Qj= 0 (j= 1,2, ……s).
В случае консервативных сил обобщенные силы определяются формулами
Qj= - ¶П/¶qj (j=1,2,………s).
Следовательно, условия равновесия консервативной системы сил имеют вид:
i; Фi y= - m 
i; Фi z= - m 
i.
i.
i = 0. (17-12)
= 0,
[ 
)+ 
)]= 0. (17-13)
) d qj= 0. (17-14)