Обобщенные координаты и число степеней свободы.

Перемещения точек несвободной механической системы не могут быть совершенно произвольными, т.к. они ограничены имеющимися связями. Это означает, что не все координаты независимы. При таком условии положение точек системы определяется заданием только независимых координат. Остальные координаты определяются из уравнений связей.

Независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек механической системы, называются обобщенными координатами этой системы.

Для голономных систем (дифф. уравнения которых могут быть проинтегрированы) число независимых координат равно числу степеней свободы этой системы.

Так, положение всех точек кривошипного механизма (рис. 17.1) вполне определяется заданием угла поворота кривошипа j.

Рис. 17.1

Этот угол можно принять за обобщенную координату.

Положение свободной материальной точки в пространстве определяется 3-мя декартовыми координатами, не зависимыми друг от друга. Поэтому свободная МТ имеет 3 степени свободы.

Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, т.к. его положение определяется только углом поворота j.

Тело, совершающее сферическое движение, имеет 3 степени свободы, т.к. его положение определяется 3-мя эйлеровыми координатами y, q, j.

Свободное твердое тело, движение которого определяется 6-ю уравнениями, имеет шесть степеней свободы. Механическая система, положение которой определяют s обобщенных координат, имеет s степеней свободы.

Декартовы координаты любой точки М механической системы являются функциями обобщенных координат этой системы. Так, зная длину кривошипа r= ОА и длину шатуна l= АВ кривошипно- шатунного механизма (рис.17.1) можно выразить декартову координату ползуна В через обобщенную координату

x_B= OK+ KB= r cosj+ (l²- r²sin²j)^1/2.

Подобным образом можно определить координату любой точки механизма.

Декартовы координаты любой точки М механической системы при стационарных связях являются функциями обобщенных координат

x_i= x_i(q₁, q₂,….q_s); y_i= y_i(q₁, q₂,….q_s); z_i= z_i(q₁, q₂,….q_s). (17-1)

В случае нестационарных связей такие координаты являются функциями и времени, т.е.

x_i= x_i(q₁, q₂,….q_s,t ); y_i= y_i(q₁, q₂,….q_s ,t); z_i= z_i(q₁, q₂,….q_s,t ). (17-2)