С одной степенью свободы в консервативном поле.

Состояние покоя механической системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.

Состояние устойчивое- если выведенная из покоя система совершает колебания около этого положения.

Состояние неустойчивое- если при сколь угодно малом отклонении система удаляется от этого положения и колебания относительно него не происходят.

Состояние покоя безразличное- если при отклонении из этого положения система остается в покое в новом положении.

Для консервативной системы уравнения равновесия имеют вид

¶ П/¶ q_j= 0 (j=1,2…..s).

Из уравнений (17-17) следует, что положениям покоя консервативной системы (консервативная система (от лат. conservo — сохраняю) — физическая система, работа неконсервативных сил которой равна нулю и для которой имеет место закон сохранения механической энергии, то есть сумма кинетической энергии и потенциальной энергии системы постоянна) соответствуют экстремальные значения потенциальной энергии системы.

Для консервативной системы с 1-й степенью свободы положение покоя определяется одним уравнением

¶ П/¶ q= 0. (17-18)

Для определения устойчивости состояния покоя необходимо выполнить условие

(¶ ²П/¶ q²)_{q=q покоя} >0. (17-19)

Если (¶ ²П/¶ q²)_{q=q покоя} =0, то эта производная не может служить критерием минимума потенциальной энергии и тогда необходимо вычислять последующие производные.

Если 1-я, не равная нулю, производная имеет четный порядок и положительна, то при q=q _покоя потенциальная энергия имеет минимум, а следовательно, это положение покоя устойчиво.

Если же 1-я, не равная нулю, производная имеет нечетный порядок, то при q=q _покоя нет ни максимума ни минимума.

Более подробно рассмотрены вопросы устойчивости в теоремах Ляпунова А.М. и в работах по теории автоматического регулирования.