Явление удара.

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек изменяются на конечную величину, называется ударом.

Конечное изменение количества движения за ничтожно малый промежуток времени удара происходит потому, что модули сил, развиваемых при ударе, весьма велики, из-за чего импульсы этих сил за время удара являются конечными величинами. Такие силы называются мгновенными или ударными.

Пусть на движущуюся под действием приложенных сил с равнодействующей Р_к МТ М в некоторое мгновение действует ударная сила Р, прекратившая свое действие в момент времени t₂= t₁+ t , где t - время удара.

По теореме изменения количества движения МТ

mu₂- mu₁= S+ S_к, (а)

где S, S_к - соответственно, импульсы сил Р и Р_к.

Импульс равнодействующей за малый промежуток времени имеет порядок малости , что и t , а импульс S ударной силы P является конечной величиной. Поэтому S_к можно пренебречь. Тогда уравнение (а) примет вид

mu₂- mu₁= S (16-1)

или

u₂- u₁= S/m. (16-2)

Т.к. продолжительность удара мала, а скорость точки за это время конечна, то перемещение точки за время удара мало, и им можно пренебречь.

В положении В, где точка получает удар, конечное изменение скорости составляет

Du=u₁- u₂.

Поэтому в положении В происходит резкое изменение траектории точки ABD (рис.16.1).

Рис.16.1

После прекращения действий силы Р точка снова движется под действием равнодействующей Р_к.

Следовательно:

1) действием немгновенных сил за время удара можно пренебречь;

2) перемещение МТ за время удара можно не учитывать;

3) результат действия ударной силы за время удара на МТ выражается в конечном изменении вектора ее скорости, определяемом уравнением (16-2).

Пусть к точкам механической системы одновременно приложены ударные импульсы. На основании предыдущего действием конечных сил за время удара будем пренебрегать. Разделим ударные силы на внутренние и внешние. Тогда для каждой точки можно записать

m_i (u_i- u_i) = S^E_i+ S^J_i (i=1,2….n).

После суммирования

Sm_i u_i- Sm_i u_i = SS^E_i + SS^J_i .

К- К₀= SS^E_i. (16-3)

Это уравнение выражает теорему:

Изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы.

Уравнению (16-3) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат.

К_x – К_x0= SS^E_ix ;К_y– К_y0= SS^E_iy ;К_z – К_z0= SS^E_iz.(16-4)

Изменение проекции количества движения системы на любую ось равна сумме проекций на ту же ось внешних ударных импульсов, приложенных к системе.

Количество движения можно выразить через массу всей системы

K= mu_C, K₀= mu_C.

Тогда

mu_C - mu_C= SS^E_i. (16-5)

Этому ,аналогично предыдущему, можно написать три уравнения в проекциях на оси координат.

При отсутствии внешних ударных импульсов

S^E_i =0; К=К₀; u_C =u_C.

От внутренних ударных импульсов количество движения системы не изменяется.

16.2. Удар шара о неподвижную поверхность.

Пусть шар массой m движется поступательно и скорость его центра u направлена по нормали к неподвижной поверхности в некоторой ее точке А (рис.16.2)

Рис. 16.2

В мгновение t, когда шар достигает этой поверхности, происходит удар, называемый прямым.

Различают две фазы удара. В первой шар деформируется до тех пор, пока скорость его не станет равной нулю. Эта деформация происходит за ничтожно малый промежуток времени t₁ . Во время этой фазы кинетическая энергия шара переходит в потенциальную энергию сил упругости деформированного тела и частично расходуется на нагревание тела.

В течение второй фазы удара под действием сил упругости шар частично восстанавливает свою первоначальную форму. Этот промежуток времени обозначим t₂ .

Из-за остаточных деформаций и нагревания шара первоначальная кинетическая энергия шара полностью не восстанавливается. Поэтому шар отделяется от поверхности со скоростью u, модуль которой меньше модуля его скорости до удараu .

Отношение модулей этих скоростей называют коэффициентом восстановления при ударе

k=|u|/|u|. (16-6)

Значения коэффициента восстановления для различных материалов определяются опытным путем. В расчетах обычно принимают коэффициент восстановления зависящим лишь от материала соударяющихся тел. Однако опыты показывают, что этот коэффициент зависит и от формы тел, от соотношения их масс и от скорости соударения.

Коэффициент восстановления для стального шарика можно определить по высоте отскока шарика.

Применяя к движению шарика под действием силы тяжести теорему об изменении кинетической энергии, можно определить скорость в начале удара

u= (2gh₁)^1/2.

По той же теореме для участка отскока получим

u=(2gh₂)^1/2.

Тогда коэффициент восстановления будет

k= u/u= (h₂/h₁)^1/2. (16-7)

В случае неупругого удара явление удара заканчивается первой фазой. Здесь u=0, k=0.

Если обозначить переменную ударную реакцию в первой фазе N₁, а N₁₁- вовторой фазе, то модули импульсов этой силы, соответственно будут

S₁= ; S₂= .

Применим теорему об изменении количества движения МТ в проекциях на нормаль к поверхности, направленную вертикально вверх (рис. 16.3), учитывая, что скорость шарика в конце первой и начале второй фаз равна нулю:

Рис. 16.3 Рис. 16.4

0- mu_n= S_1n; mu_n - 0= S_11n.

Представив значения проекций в виде u_n=-u; u_n= -u, S_1n= S₁; S_11n= S₁₁,

получим

mu = S₁; mu = S₁₁.

Отношения модулей импульсов

S₁ / S₁₁= mu / mu = u / u = k. (16-8)

Т.о., отношение модулей импульсов ударной реакции гладкой поверхности за вторую и первую фазу удара равно коэффициенту восстановления при ударе.

Рассмотрим случай, когда падение происходит под углом a к нормали. Для этого положим, что векторы взаимодействия лежат в плоскости чертежа (рис. 16.4).

Спроектируем вектор скорости u на нормаль и касательную в этой плоскости. При отсутствии трения реакция поверхности направлена по нормали и ее проекция на касательную Аt равна нулю. На основании теоремы о проекции количества движения

mu_t- mu_t= 0 или u_t= u_t.

Изменение нормальной составляющей скорости при ударе происходит согласно формуле (16-6). Поэтому

|u_n|= k|u_n|, (16-9)

где |u_n|, |u_n| - абсолютные значения проекций скоростей u и u на нормаль.

Модуль скорости u центра шара после удара

u=(u_t²+u_n²)^1/2=(u_t²+ku_n²)^1/2=[(usin a)²+(kucos a)²]^1/2=

= u(sin²a+ k²cos²a)^1/2. (16-10)

Угол падения

tg a= u_t/|u_n|; tg b= u_t/|u_n|= u_t/(k|u_n|)=k^-1tga. (16-11)

Поскольку k<1, то

tg b>tga и b> a ,

т.е. угол отражения больше угла падения.

В случае абсолютно твердого тела угол отражения равен углу падения.

16.3. Прямой центральный удар двух тел.

Пусть при поступательном прямолинейном движении двух тел массами m₁, m₂ с центрами тяжести С₁ и С₂ движутся вдоль одной и той же прямой со скоростями u₁ и u₂. Если второе тело находится впереди и u₁ > u₂, то в некоторый момент времени первое тело нагонит второе и произойдет удар тел.

На рис. 16.5,а изображен такой удар двух шаров, при котором скорости тел в начале удара направлены по общей нормали к поверхностям в точке соприкосновения.

Такой удар называется прямым центральным ударом двух тел.

Рис. 16.5

Определим, пользуясь теоремой импульсов, скорости этих тел после удара. От мгновения t соприкосновения тел происходит их смятие до тех пор, пока скорости не сравняются. Общую скорость в момент наибольшей деформации t₁= t+ t₁ обозначим u. Если тела совершенно неупругие, то удар неупругий, и с этого мгновения оба тела будут двигаться как одно целое.

Удар упругих тел не заканчивается в мгновение, когда скорости тел сравняются. Начиная с этого мгновения, происходит восстановление первоначальной формы тел за счет накопившейся в них потенциальной энергии упругой деформации.

В некоторое мгновение t₁= t+ t₁ тела отделяются, имея разные скорости u₁, u₂ , направленные также как и скорости до соударения по общей нормали к поверхностям касания в точке.

В течение 1-й фазы продолжительностью t₁ к телам приложены взаимные ударные реакции, равные по модулю и направленные по оси х, проведенной по общей нормали, в противоположные стороны (рис.16.5,б).

Импульс ударной реакции, действующей на 1-е тело, S₁ направлен в сторону, обратную направлению оси х, а импульс реакции, приложенной ко 2-му телу S’₁, имеет направление оси х. Модули импульсов равны.

Силы взаимодействия соударяющихся тел являются для рассматриваемой системы внутренними силами. Поэтому, согласно уравнению (16-3) количество движения системы при ударе не изменяется.

Приравниваем значения проекций на ось х количества движения системы тел в начале удара и в момент наибольшей деформации

m₁u₁+ m₂u₂= (m₁+ m₂)u.

Откуда

u= (m₁u₁+ m₂u₂)/ (m₁+ m₂). (16-12)

Для определения импульсов ударных сил взаимодействия воспользуемся уравнением (16-5), учитывая, что для каждого тела в отдельности эти импульсы являются внешними:

Для 1-го тела

m₁(u- u₁)= - S₁,

для 2-го тела (16-13)

m₂(u- u₂)= S’₁.

Подставив в первое равенство (16-12), найдем модули ударных импульсов первой фазы:

S₁= m₂[(m₁u₁+ m₂u₂)/ (m₁+ m₂)-u₂]= m₁m₂(u₁- u₂)/( m₁+ m₂). (16-14)

Обратимся ко 2-й фазе упругого удара от момента наибольшей деформации t+ t₁ до момента t+ t₁+ t₂ полного или частичного восстановления и отделения тел друг от друга. Обозначим S₁₁ , S’₁₁ импульсы ударных реакций соударяющихся тел за время t₂ . Их направления совпадают с направлениями соответствующих ударных импульсов 1-й фазы удара. Проекции u₁, u₂ скоростей тел в конце удара на ось определим по уравнению (16-5) для 2-й фазы удара

m₁(u₁ - u)= - S₁₁,

m₂(u₂ - u)= S’₁₁. (16-15)

Разделим 1-е уравнение на 1-е уравнение системы (16-13), а второе уравнение на 2-е уравнение (16-13)

(u₁ - u)/ (u- u₁)= k ; (u₂ - u)/ (u- u₂)= k.

Отсюда

u₁=u+ k(u- u₁)=u(1+k)- ku ₁;

u₂=u+ k(u- u₂)=u(1+k)- ku ₂. (16-16)

Подставляя значения u, окончательно получим

u₁=u₁- (1+k)m₂(u₁-u₂)/(m₁+m₂),

u₂=u₂+ (1+k)m₁(u₁-u₂)/(m₁+m₂). (16-17)

Поскольку внутренние силы не изменяют количества движения системы, то за время удара оно остается неизменным, т.е.

m₁u₁ + m₂ u₂= m₁u₁ + m₂ u₂. (16-18)

Из формул (16-16)

(u₂ - u)= k (u₁ - u₂) .

Откуда

k =(u₂ - u)/ (u₁ - u₂). (16-19)

Коэффициент восстановления при ударе двух тел равен отношению модулей относительной скорости тел после удара и до него.

Определим модуль ударного импульса, приложенного к каждому телу, за весь период упругого удара:

S= S₁+ S₁₁.

Подставим значения импульсов из вторых уравнений (16-13), (16-15)

S= S’= m₂(u₂- u₂)= m₂[u(1+k)- ku₂- u₂]=

= m₂(1-k)(u-u₂)= (1+k)S₁.

Применим формулу (16-14)

S= (1+k)m₁m₂(u₁-u₂)/( m₁ +m₂). (16-20)

На основании установленных здесь общих формул получим формулы для определения скоростей тел после удара и ударных импульсов в случае неупругого и абсолютно упругого ударов.

При неупругом ударе k=0. Удар имеет только первую фазу. В этом случае после удара тела движутся совместно со скоростью

u= (m₁u₁+ m₂u₂)/(m₁+ m₂).

Модуль ударного импульса

S₁= S’₁= m₁m₂(u₁-u₂)/( m₁ +m₂).

При абсолютно упругом ударе k=1. В этом случае формулы (16-16), определяющие скорости тел после удара, принимают вид

u₁= 2u- u₁= 2 (m₁u₁+ m₂u₂)/(m₁+ m₂)- u₁= u₁- 2m₂ (u₁-u₂)/( m₁ +m₂);

u₂= 2u- u₂= 2 (m₁u₁+ m₂u₂)/(m₁+ m₂)- u₂= u₂- 2m₁ (u₁-u₂)/( m₁ +m₂). (16-17)

Формула (16-20) за весь период абсолютно упругого удара будет

S=S’ = 2m₁m₂(u₁-u₂)/( m₁ +m₂). (16-21)

Из формул (16-16), (16-20) следует, что при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при неупругом ударе.

Это объясняется тем, что при абсолютно упругом ударе к импульсу фазы деформации добавляется импульс фазы восстановления такого же модуля.