Твердого тела.

Кинетический момент твердого тела, совершающего сферическое движение относительно неподвижной точки (рис. 15.2), определяется по общей формуле L_O= Sr_ix m_iu_i.

Рис. 15.2

Из кинематики известно, что скорость любой точки тела, совершающего сферическое движе ние, определяется векторным произведением

u_i= w_ixr_i,

где w - вектор угловой скорости тела, направленный по мгновенной оси W; - радиус- вектор, проведенный в точку М_i из неподвижной точки О.

Тогда предыдущее выражение можно записать в форме

L_O= Sr_ix m_i(w_ix r_i). (15-4)

После двойного векторного умножения получим

L_O= S m_iw(r_i*r_i)- S m_i r_i(w *r_i)= wS m_ir_i² - S m_i r_i(w *r_i). (15-5)

Для определения расстояния от точки до начала координат имеем

r_i²= x_i²+ y_i²+ z_i².

Скалярное произведение векторов можно выразить через их проекции на оси координат

w*r_i= w_xx_i+w_yy_i+w_zx_k.

Пользуясь этими выражениями, получим кинетический момент тела относительно точки О в виде

L_O= wS m_i(x_i²+ y_i²+ z_i²)- S m_i r_i(w_xx_i+w_yy_i+w_zx_k). (15-6)

Определим кинетический момент тела относительно оси, проходящий через точку О, как проекцию L_O на ось х:

L_x= w_xS m_i(x_i²+ y_i²+ z_i²)- S m_i x_i(w_xx_i+w_yy_i+w_zx_k).

После соответствующих преобразований

L_x= w_xS m_i(z_i²+ y_i²)- w_yS m_i x_iy_i - w_zS m_i z_ix_i.

Здесь S m_i(z_i²+ y_i²)= J_x – момент инерции тела относительно оси х; S m_i x_iy_i - центробежный момент инерции тела относительно осей х и у; S m_i z_ix_i - центробежный момент инерции тела относительно осей z, x.

Подставляя эти соотношения в выражение, определяющее L_x , получим

Формулы для вычисления кинетического моментов тела, совершающего сферическое движение относительно оси х и по аналогии относительно осей y, z:

L_x= w_xJ_x- w_yJ_xy- w_zJ_zx; L_y= -w_xJ_xy+ w_yJ_y- w_zJ_yz; L_z= -w_xJ_zx- w_yJ_yz+ w_zJ_z. (15-7)

Если за оси координат приняты главные оси инерции в неподвижной точке О, центробежные моменты инерции будут равны нулю, и тогда

L_x= w_xJ_x; L_y= w_yJ_y; L_z= w_zJ_z. (15-8)

Дифференциальные уравнения сферического движения.

При сферическом движении твердого тела его кинетический момент L_О относительно неподвижной точки О изменяется согласно уравнению

dL_О /dt= M^E_O.

Свяжем с движущимся телом подвижные оси координат x,h,z, обозначив орты этих осей i, j, k.

В проекциях на эти оси вектор L_О будет записываться в форме

L_О= iL_x+ jL_h+ kL_z. (15-9)

Проекции этого вектора представляют собой кинетические моменты тела относительно этих осей.

Найдя производную dL_О/dt, учитывая, что орты являются переменными векторами, для которых

di₁/dt= wxi₁; dj₁/dt= wxj₁; dk₁/dt= wxk₁,

и проводя соответствующие преобразования, получим три равенства

dL_x/dt+ (w_hL_x- w_xL_h)= M^E_x;

dL_h/dt+ (w_zL_x- w_xL_z)= M^E_h; (15-10)

dL_z/dt+ (w_xL_h- w_hL_x)= M^E_z.

Если за подвижные координатные оси приняты главные оси инерции тела в точке О, то кинетические моменты тела относительно этих осей будут

L_z= w_zJ_z; L_h= w_hJ_h; L_x= w_xJ_x. (15-11)

Тогда уравнения динамики принимают вид

J_xdw_x /dt+ w_hw_z(J_z-J_h)= M^E_x;

J_hdw_h/dt+ w_zw_x (J_x-J_z)= M^E_h; (15-13)

J_zdw_z/dt+ w_xw_h(J_h-J_x)= M^E_z.

Здесь J_x , J_z, J_h- моменты инерции тела относительно его главных осей инерции в точке О; M^E_x, M^E_h, M^E_z - главные моменты внешних сил, приложенных к телу относительно этих осей; w_x ,w_h , w_z- проекции вектораугловой скорости тела w на оси.