Тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w. Момент количества движения точки тела относительно этой оси

L_iz= m_iu_ir_i, (a)

где r_i - радиус окружности, описываемый точкой М_i.

Поскольку u_i= w r_i, то

L_iz= m_iw_ir_i² .

Кинетический момент твердого тела относительно оси z

L_z= S L_iz=S m_iw_ir_i²=w Sm_ir_i² .

Здесь Sm_ir_i²= J_z- момент инерции твердого тела относительно оси, т.е.

L_z= J_z w. (15-1)

Изменение кинетического момента будет

dL_z/dt= SM^E_iz. (15-2)

Рис. 15.1

Реакции подшипника В и подпятника А (рис. 15.1) являются внешними силами, но при отсутствии трения их моменты относительно оси z равны нулю, и правая часть уравнения (15-2) содержит только сумму моментов задаваемых внешних сил. При наличии трения эта сумма содержит также момент сил трения.

Т.к. w= , то

L_z= J_z и dL_z /dt= J_z .

Поэтому

J_z = SM^E_iz. (15-3)

Это уравнение является дифференциальным уравнением вращения твердого тела относительно неподвижной оси.

Пример 15.1. Натяжение ветвей ремня, приводящего во вращение шкив, равны T₁= 40H, T₂= 20H. Вес шкива 80 Н, радиус 30 см, радиус инерции относительно оси вращения i_x= 25 см. Составить уравнение вращения шкива из состояния покоя, пренебрегая трением.

Решение.

Диф. уравнение

J_x = M^E_x.

К шкиву приложены внешние силы: T₁, T₂, G, составляющие реакций опоры Y_O, Z_O.

M^E_x= T₁r- T₂r= 600 Нсм.= 6 Нм

J_x= mi²_x= (G/g) i²_x= 80*0,25²/9,8= 0,51 кгм².

0,51 =6.

15.2. Маятник представляет собой однородный круглый диск радиусом r. Ось привеса отстоит от центра на расстоянии r/2.

Определить приведенную длину, положение центра качания и период качания маятника.

Решение. Приведенную длину определим из уравнения маятника по формуле

l=J_x/(md).

Здесь m- масса; d- расстояние от центра тяжести до оси привеса

Момент инерции равен

J_x= J_Cx+ md².

При J_Cx= mr²/2, d= r/2

J_x= mr²/2+ mr²/4= (3/4)mr².

Тогда

l=(3/4)mr²/( mr/2)= (3/2)r.

Отложив вдоль оси ОС отрезок ОО₁= l, получим центр качаний О_1.Период качаний

T= 2p(l/g)^1/2 = 2p[(3r/ (2g)]^1/2.

Пример 15.3.

Через неподвижный блок весом G перекинута веревка, весом которой можно пренебречь. К концу веревки подвешен груз В весом Q. По веревке от другого ее конца начинает подниматься человек А с таким же весом и относительной скоростью u. Определить угловую скорость вращения блока, если в начальный момент система была неподвижной.

Решение.

Изменение момента количества движения

dL_x/dt= M^E_x.

Ось х- ось вращения блока.

M^E_x=Qr-Qr=0.

Следовательно, L_x =const.

Т.к. в начале был покой, то L_x =0.

Пусть при движении человека блок вращается с угловой скоростью w против часовой стрелки. Тогда скорость движения груза вверх u_В= wr. Человек будет иметь относительную скорость u , направленную вверх, и переносную скорость направленную вниз u_е=wr. Кинетический момент всей системы

L_x= L₁_x+L₂_x+L₃_x.

Считаем моменты количества движения системы положительными, если они направлены относительно О против вращения часовой стрелки.

Момент количества движения груза

L₁_x= mu_Br=(Q/g)wr²;

момент количества движения человека

L₂_x= m(u_е– u) r=(Q/g)(wr²- ur).

Кинетический момент блока

L₃_x= J_xw.

Т.к. масса блока равномерно распределена по ободу, то J_x= m₁r², и

L₃_x=(G/g)r²w.

Тогда

L_x=(Q/g)wr²+ (Q/g)(wr²- ur)+ (G/g)r²w= 0

2Qwr²- Qur + Gwr²=0.

Откуда

w= Qu/(2Q + G)r, u_B= wr= Qu/(2Q + G).