Работа сил, приложенных к твердому телу.

Рассмотрим две произвольные точки твердого тела М₁ и М₂, являющиеся частью механической системы. Проведем построения (см. рис.14.13).

Внутренние силы P^J₁, P^J₂ , действующие со стороны одной точки на другую, на основании закона равенства действия и противодействия равны по модулю и противонапралены P^J₁= -P^J₂.

Пусть в данное мгновение скорости точек равны соответственно u₁ и u₂ и за промежуток времени приращения вдоль векторов составляют ds₁= u₁dt , ds₂= u₂dt .

Рис. 14.13.

Т.к., на основании 1-го следствия теоремы о скоростях точек плоской фигуры проекции векторов скоростей на направление отрезка М₁М₂ равны, то и проекции элементарных перемещений этих точек будут равны.

Поэтому, вычисляя сумму элементарных работ 2-х внутренних сил на рассматриваемом перемещении и учитывая их равенство и противонаправленность получим

P^J₁ds₁cos(P^J₁, u₁) + P^J₂ds₁cos(P^J₂, u₂)= P^J₁* M₁M’₁- P^J₁*M₂M’₂= 0.

Поскольку каждой внутренней силе соответствует другая, равная по модулю и противонапраленная, то сумма элементарных работ всех внутренних сил равна нулю.

Конечное перемещение является совокупностью элементарных перемещений, а поэтому

А^j= 0,

т.е. сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

Поступательное движение твердого тела.

При поступательном движении твердого тела траектории всех его точек тождественны и параллельны. Поэтому векторы элементарных перемещений геометрически равны.

Элементарная работа силы P^E_i

d A^E_i= P^E_idr.

Для всех сил будет

d A=Sd A^E_i= SP^E_idr=drSP^E=drR^E.

Следовательно,

d A=drR^E. (14-46)

Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, движущемуся поступательно, равна элементарной работе главного вектора сил.

Работа на конечном перемещении

А= . (14-47)

Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота.

Работа на конечном перемещении

SA_i= , (14-48)

где - главный момент внешних сил относительно оси вращения.

Если главный момент постоянен, то

SA_i= ^E_z = ^E_z(j₂- j₁). (14-49)

В этом случае сумма работ на конечном перемещении равна произведению главного момента внешних сил на конечное изменение угла поворота тела.

Тогда мощность

N= =M^E_zdj/dt= M^E_zw. (14-50)

В общем случае движения элементарная работа внешних сил, приложенных к свободному твердому телу, равна

dA= SdA_i= R^Edr_O+ M^E_Wda, (14-51)

где M^E_W - главный момент внешних сил относительно мгновенной оси; da - элементарный угол поворота относительно мгновенной оси.

14.10. Сопротивление при качении.

На цилиндрический каток, находящийся на горизонтальной плоскости в состоянии покоя (рис.14.14,а) действуют две взаимно уравновешивающиеся силы: вес катка G и нормальная реакция плоскости N= -G.

Рис.14.14

Если под действием горизонтальной силы Р, приложенной в центре катка С, он катится по плоскости без скольжения, то силы G , N образуют пару сил, препятствующую качению (рис. 14.14,б).

Возникновение этой пары сил обусловлено деформацией контактирующих поверхностей катка и плоскости. Линия действия реакции N оказывается сдвинутой на некоторое расстояние d от линии действия силы G.

Момент пары сил G , N называется моментом сопротивления качению. Его величина определяется произведением

М_сопр= Nd. (14-52)

Коэффициент качения выражается в линейных единицах, т.е. [d]= см. Например, стальной бандаж по стальному рельсу d= 0,005 см.; дерево по стали d= 0,03- 0,04 см.

Определим наименьшую горизонтальную силу Р, приложенную к центру катка.

Чтобы каток начал катиться, момент пары сил, составленный силой Р и силой сцепления F_сц, должен стать больше момента сопротивления, т.е.

PR> Nd.

Откуда P> Nd/R.

Т.к. здесь N=G, то

P> Gd/R. (14-53)