Теорема об изменении кинетической энергии

материальной точки.

Рассмотрим МТ М массой m, движущуюся под действием сил P₁, P₂,…P_n. Выберем начало и направление отсчета дуговой координаты s= ОМ. Укажем в точке М орт касательной t, направленный всегда в сторону увеличения дуговой координаты.

Проекция скорости точки на касательную равна

u= ds/dt.

Проекция ускорения

w_t= du /dt= (du/ds)*(ds/dt)= (du/ds)* u.

Спроектируем векторы, входящие в основное уравнение, динамики на касательную mw_t= SP_icos(P_i,t).

Учитывая предыдущее (w_t) и умножая обе части равенства на ds

mudu=SP_i ds*cos(P_i,t). (14-42)

Левая часть- это дифференциал кинетической энергии точки, а правая- сумма элементарных работ приложенных к точке сил, т.е.

d(mu²/2)=SdA_i. (14-43)

Проинтегрируем (14-42)

m =S

откуда

mu₂²/2- mu₁²/2= SA_i. (14-44)

Теорема: изменение кинетической энергии МТ на некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на том же перемещении.

Если сумма работ положительна, то u₂> u₁, т.е. кинетическая энергия возрастает, наоборот- уменьшается.

При движении МТ по неподвижной шероховатой поверхности действует сила трения F, направленная против движения МТ. Поэтому здесь сумма работ будет

А_тр= -

Здесь кинетическая энергия будет уменьшаться.

Если рассматривать движение МТ в относительном движении, то в принципе к действующим силам необходимо действие переносной и кориолисовой сил инерции. Однако поворотное ускорение w_c, а следовательно, и кориолисова сила всегда перпендикулярны к относительной скорости u_r. Поэтому работа этой силы равна нулю.

На основании изложенного уравнение для относительного движения точки имеет вид

mu_2r ²/2- mu_1r ²/2=S + , (14-45)

где Ф_e -переносная сила инерции.

Пример 14.2. Нить длиной l= 2 м отклонена на угол a₀= arcos(3/4) от вертикали, и привязанному к ней грузу сообщена начальная скорость u₀= 3,13 м/с (рис. 14.12). Определить наибольший угол отклонения нити в другую сторону от вертикали.

М₁

Рис. 14.12

Решение. Груз М будет двигаться по окружности до точки М₁, в которой его скорость u₁=0. Изменение кинетической энергии груза на участке М₀М₁ равно

mu₁²/2- mu₀²/2= SA_i.

Реакция нити S направлена перпендикулярно вектору скорости груза u, и работа ее равна нулю.

Работа силы тяжести

A_G= -GH,

где Н- перемещение груза по вертикали H= lcosa₀- lcosa= l(cosa₀- cosa).

Тогда

mu₁²/2- mu₀²/2=-G l(cosa₀- cosa).

Поскольку u₁=0, то

Gu₀²/(2g)= G l(cosa₀- cosa)

Откуда

cosa= cosa₀- u₀²/(2g)= ¾- 3,13²/(2*9,8*2)=1/2.

Наибольший угол отклонения равен 60°.