Две меры механического движения.

В динамике рассматриваются два случая преобразования механического движения МТ или системы точек:

1) механическое движение переносится с одной механической системы на другую в качестве механического движения;

2) механическое движение превращается в другую форму движения материи (в форму потенциальной энергии, теплоты, электричества и т.д.)

Каждый из этих случаев имеет свои измерители. Когда рассматривается преобразование механического движения без перехода в другую форму движения, мерой является вектор количества движения МТ или механической системы K= mu_C . Мерой действия силы в этом случае является вектор импульса силы S. Во втором случае в качестве меры механического движения выступает кинетическая энергия МТ или механической системы.

Известно, что кинетическая энергия МТ определяется выражением

T= mu²/2.

Мерой действия силы при превращении механического движения в другую форму движения является работа силы.

Рассмотрим вычисление работы постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении точки ее приложения. Пусть точка приложения постоянной силы Р перемещается по прямой из М в М₁ (рис.14.6), а вектор силы не совпадает с направлением перемещения.

Рис.14.6

Работа силы в этом случае равна произведению модуля силы на длину пути, пройденного точкой приложения силы, и на косинус угла:

A= Pu*cosa= Pu* cos(P,u). (14-24)

Из векторной алгебры это является скалярным произведением

А= P*u.

Работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении определяется скалярным произведением вектора силы на вектор перемещения точки ее приложения.

Если угол a острый, то работа положительна, если тупой- отрицательна.

Если a=0, то A= Pu, если a=90° , то A=0. При a=180° A=- Pu.

14.6. Элементарная работа. Теоремы о работе силы.

Пусть точка приложения переменной по модулю и направлению силы Р перемещается по криволинейной траектории из М₁ в М и в М₂ (рис. 14.7).

Рис. 14.7

Для вычисления работы разбиваем это перемещение на элементарные участки. Вычисляем на каждом из них работу силы как постоянной и определяем предел суммы элементарных работ:

dА= Pdscos(P,u). (14-25)

Здесь Р- модуль силы; ds - длина пути ММ’, пройденного точкой.

Приведенное обозначение работы обусловлено тем, что она не является дифференциалом функции.

Положение точки характеризуется дуговой координатой s=ОМ и ортом t , направленным в сторону возрастания дуговой координаты.

Тогда при движении точки М в сторону возрастания s имеем:

1) ds>0, ds= |ds|= ds;

2) cos(P,u)= cos(P,t).

dА= Pds cos(P,u)= Pds cos(P,t).

При движении точки в сторону уменьшения s имеем

1) ds<0, ds= |ds|= -ds;

3) cos(P,u)=- cos(P,t).

dА= Pds cos(P,u)= Pds cos(P,t).

Т.о., при движении точки в любом направлении по траектории элементарная работа силы равна

dА= Pds cos(P,t). (14-26)

Причем здесь ds - алгебраическая величина приращения s.

Обычно работа вычисляется отдельно для участков с движением в одном направлении, и это направление принимается за положительное, а затем на участках с движением в другом.

Разложим силу Р на составляющие, направленные по касательной и по главной нормали к траектории в точке М:

P_t= P cos(P,t), P_n= P cos(P,n). (14-27)

На основании 1-й формулы (14-27) запишем

dА= P_t ds. (14-28)

Поскольку нормаль перпендикулярна к касательной, то P_n=0.

Представим элементарную работу как скалярное произведение

dА= P dr. (14-29)

где dr - вектор элементарного перемещения точки М.

Через проекции на оси координат получим:

dА= X dx+ Ydy+ Zdz. (14-30)

Работа на конечном участке равна A= SdA и переходя к пределу при стремлении числа участков к бесконечности на конечном перемещении М₁М₂

A_1,2= ), (14-31)

A_1,2= ), (14-32)

A_1,2= , (14-33)

A_1,2= , (14-34)

A_1,2= . (14-35)

Теорема 1. Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении.

Теорема 2. Работа постоянной по модулю и направлению силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющие перемещения.

Пусть точка приложения постоянной по модулю и направлению силы Р получает совокупность последовательных перемещений (рис.14.8)

Рис. 14.8.

Результирующее перемещение точки М

u=u₁+ u₂+….u_n.

Работа силы на этом перемещении равна

A= P*u=P*(u₁+ u₂+….u_n)= Pu₁+ Pu₂+….Pu_nт.е.

А=А₁+А₂+…+А_n.

Из этой теоремы следует, что при вычислении работы постоянной силы на криволинейном перемещении криволинейное перемещение можно заменить прямолинейным, а в случае замкнутого контура работа постоянной силы равна нулю.

Работа переменной силы на конечном перемещении определяется с помощью криволинейного интеграла, взятым вдоль дуги М₁М₂. Этот интеграл может быть вычислен аналитически по формуле (14-35) или графически на основе формулы (14-33).

Графическое вычисление показано на рис.14.9, как площадь под кривой.

Рис.14.9

Если проекция силы на касательную отрицательна, то соответствующая площадь расположится ниже оси абсцисс, и работа силы будет отрицательной.

Работа измеряется в [Дж],

1Дж= 1Н*м.

Изменение работы силы за единицу времени называется мощностью.

Если в течение малого Dt постоянная сила Р перемещается и совершает работу dА= P dr,то мощность этой силы