Момент количества движения mu точки М относительно центра О представляет собой вектор LO, направленный перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор mu и центр О в ту сторону, откуда вектор mu относительно центра О виден направленным против вращения часовой стрелки.
Модуль вектора LO равен
LO= muh, (14-14)
где h - плечо (рис. 14.4)
Момент количества движения mu точки М относительно точки О можно определить векторным произведением
LO = r x mu, (14-15)
где r - радиус вектор.
Рис. 14.4
Относительно оси z алгебраическое значение момента количества движения равно
Lz= ± mu1h1. (14-16)
Моменты количества движения относительно точки и оси связаны соотношением
Lz=LOcos(LO,k). (14-17)
Т.е. проекция момента количества движения МТ относительно некоторого центра на ось, проходящую через этот центр, равна моменту количества движения точки относительно этой оси.
Аналитические выражения моментов количества движения точки относительно осей координат имеют вид
Lx= y*muz- z* muy= m (y uz- z uy);
Ly= z*mux- x* muz= m (z ux- x uz); (14-18)
Lz= x*muy- y* mux= m (x uy- y ux),
где x,y,z, ux ,uy, uz - координаты и проекции на них скорости движущейся точки М.
Эта система уравнений получена из положения, что главный вектор заданной системы сил инвариантен по отношению к центру приведения. При этом главный момент системы сил относительно 2-го центра приведения равен разности главного момента этих сил относительно 1-го центра приведения и момента силы, равной главному вектору этой системы сил, приложенной во 2-м центре приведения относительно 1-го центра.
Пусть движение МТ М происходит под действием силы Р. Проведем из произвольного центра О в точку М радиус-вектор r и определим момент силы относительно этого центра
MO= r x P.
Определим также момент количества движения точки М относительно центра О
LO= r x mu.
Найдем производную
dLO/dt=dr/dt x mu +rx mdu/dt.
Здесь dr/dt =u;du/dt= w.
Т.е.
dLO/dt=uх mu +rx mw.
Поскольку угол (u,mu)= 0, то ux mu=0.
Тогда
dLO/dt= rx mw=r xP
или
dLO/dt= МО. (14-19)
Если на МТ действует несколько сил, то МО следует рассматривать как момент их равнодействующей, а выражение (14-19) представить в форме
dLO/dt= SМiO. (14-20)
Теорема: производная по времени от момента количества движения МТ относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра.
Эти выражения можно обычным образом представить через проекции на оси координат:
Откуда следует: производная по времени от момента количества движения МТ относительно некоторой неподвижной оси равна алгебраической сумме моментов сил, действующих на точку относительно этой же оси.
Следствие 1. Если линия действия равнодействующей приложенных к МТ сил все время проходит через некоторый неподвижный центр, то момент количества движения МТ относительно этого центра остается постоянным.
Т.е. если r= 0, то МО=0, dLO /dt=0 и LO= const.
Центральной силой называется сила, линия действия которой за время движения проходит через некоторый центр, а модуль зависит от расстояния между этим центром и точкой приложения силы.
Пример 14.3. Шарик весом G находится на гладкой горизонтальной плоскости. К шарику привязывают невесомую нерастяжимую нить, которую пропускают через отверстие О на плоскости и тянут вниз с постоянной скоростью с (рис.14.5). В мгновение, когда расстояние шарика от отверстия ОМО= R, шарику сообщают скорость
Рис. 14.5
uО, направленную перпендикулярно к нити. Определить дальнейшее движение шарика.
Решение. Будем использовать полярные координаты r и j.
Начальные условия: t0 =0; r0= R; j0= 0.
На шарик действуют 3 силы: сила веса G, реакция плоскости N, реакция нити S. Поскольку момент этих сил относительно оси Oz равен нулю, то SМiz.=0.
Поэтому Lz= const.
Т.к. по условию задачи нить втягивается равномерно со скоростью с,то изменение координат будет
r= R- ct.(14-22)
Для определения координаты j в зависимости от t воспользуемся условием Lz= const. Абсолютная скорость шарика состоит из скоростей, направленных по координатам r, j .
u = rdj /dt.
Вектор момента количества движения mcне имеет момента относительно оси Oz, т.к. прямая, по которой он направлен, пересекает ось Oz.
Момент вектора количества движения mu относительно оси z в любое мгновение определяется по формуле
Lz=mur= mr2 dj /dt .
В начальное мгновение Lz0= mu0R.
Т.к. Lz= const, то Lz0= Lz, т.е.
mu0 R= mr2 dj /dt.
Откуда
dj /dt= u0 R/r2.
Используя (14-22), получим
dj /dt= u0 R/(R-ct)2.
После интегрирования по времени
j =Ru0/[c(R-ct)]+ C.
Постоянную С определим из начальных условий t0 =0; j0= 0,
0= Ru0/[cR]+ C; С=-u0/c .
Тогда второе уравнение движения шарика
j =Ru0/[c(R-ct)] -u0/c= =u0 t/(R-ct). (14-23)
Уравнение траектории шарика в полярных координатах, полученное исключением времени из уравнений (14-22) и (14-23), будет
j =(u0/c)(R/r-1).
Причем из Lz= mr2 dj /dt следует, что при уменьшении радиуса возрастает угловая скорость вращения нити.
