Теорема о движении центра масс механической

системы.

Пусть имеется система n МТ М₁, М₂….. M_n. Основное уравнение динамики для каждой точки запишем в форме

m_iw_i= m_id²r_i/dt²=P_i^E+ P_i^J, (14-1)

где P_i^E, P_i^J, - соответственно, равнодействующие внешних и внутренних сил.

Проекции равенства на оси x, y, z будут

m_i = X_i^E+ X_i^J, m_i = Y_i^E+ Y_i^J, m_i = Z_i^E+ Z_i^J. (14-2)

Для механической системы из n точекполучим 3n совместных диф. уравнений движения.

Положение центра масс С этой системы определяется выражением

r_C= (S m_ir_i)/m.

Суммируем все уравнения типа (14-1)

S m_i d²r_i /dt²= S P_i^E+ S P_i^J. (а)

Преобразуем левую часть равенства

S m_i dr_i /dt²= S m_ir_i = (mr_C)= m .

Геометрическая сумма внутренних сил равна нулю. Поэтому уравнение (а) приобретает вид

m = SP_i^E= R^E

или

mw_C= R^E, (14-3)

т.е. произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или главному вектору этих сил.

Уравнение (14-3) выражает теорему: центр масс механической системы движется как материальная точка, массой , равная массе всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проекции на оси x, y, z уравнения (14-3) имеют форму

m_i = X^E, m_i = Y^E, m_i = Z^E, (14-4)

где X^E, Y^E, Z^E - проекции главного вектора сил на оси координат.

Уравнения (14-3-), (14-4) представляют собой диф. уравнения движения центра масс. Из них следует, что внутренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс.

Однако внутренние силы могут стать причиной появления внешних сил, приложенных к системе. Так, внутренние силы вызывающие вращение колеса локомотива, приводят к появлению внешних сил трения (сцепления).

Движение свободного твердого тела в общем случае можно разложить на поступательное и сферическое вокруг центра масс. По рассмотренной теореме о движении центра масс можно определить только поступательное движение тела как МТ, а сферическое приходится рассматривать особо, пользуясь другими теремами динамики.

Следствия теоремы.

1. Если главный вектор внешних сил остается все время равным нулю, то центр масс находится в покое или движется равномерно прямолинейно.

2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо неподвижную ось остается все время равной нулю, то проекция центра масс на эту ось остается неподвижной или движется равномерно.

Пример 14.1.

Человек весом G₁стоит на корме лодки весом G₂ и длиной l, находящейся в покое в стоячей воде. Определить, пренебрегая сопротивлением воды, расстояние s на которое переместится лодка, если человек перейдет на нос лодки.

Решение. Система лодка- человек находится в покое под действием 3-х внешних вертикальных сил: веса лодки, веса человека и реакции воды R, линия действия которой проходит через центр масс системы (рис.14.1).

Проведем построения, показанные на рис. 14.1, и вычислим координату центра масс х_С этой системы

x_C= (G₁x₁+G₂x₂)/(G₁+ G₂).

Рис.14.1

Проекция на ось х главного вектора внешних сил и начальная скорость равны нулю, то согласно 2-му следствию теоремы координаты центра масс не изменятся.

Поэтому при перемещении человека с кормы на нос лодки (вправо) лодка будет перемещаться влево так, чтобы центр масс остался на той же вертикали. Новые координаты центра масс будут

x’₁= x₁+l- s; x’₂= x₂-s.

Координата центра масс в этом положении

x’_C=(G₁x’₁+G₂x’₂)/(G₁+ G₂)=[G₁(x₁+l- s)+G₂(x₂-s)]/(G₁+ G₂) .

Т.к. x_C=const, то x_C= x’_C, т.е.

(G₁x₁+G₂x₂)/(G₁+G₂)= [G₁(x₁+l- s)+G₂(x₂-s)]/(G₁+ G₂)

Или

G₁x₁+G₂x₂ = G₁(x₁+l- s)+G₂(x₂-s),

(G₁+ G₂)s=G₁l.

Тогда

s= l G₁/(G₁+ G₂).