Силы, действующие на точки механической системы.

Системой МТ, или механической системой, называют такую совокупность точек, где положение или движение каждой точки зависит от положения и движения всех остальных.

Система МТ, движение которых не ограничено никакими связями, а определяется лишь действующими силами, называют системой свободных точек. (Планеты свободно перемещаются по своим орбитам- система свободных точек).

Система МТ, движения которых ограничиваются наложенными связями, называется системой несвободных точек. (Это любой механизм)

Механическая система с голономными связями называется голономной системой.

Внешними силами называют силы, действующие на точки системы со стороны МТ, не входящих в состав данной системы.

Внутренними силами называют силы взаимодействия между МТ данной механической системы.

Здесь внешние силы будем обозначать P^E_i ,а внутренние- P^J_i .

Одна и та же сила может быть внешней и внутренней. Так реакции подшипников являются внешними для вала, но внутренними в механизме.

На основании закона равенства действия и противодей ствия каждой внутренней силе соответствует другая внутренняя, равная по модулю и противоположная по направлению.

Из этого следует:

1. Главный вектор всех внутренних сил системы и суммы их проекций на координатные оси равны нулю:

R^J_i=S P^J_i=0; (13-1)

2. Главные моменты всех внутренних сил системы относительно любого центра и координатных осей равны нулю:

М^J₀=S М^J_iо=0; (13-2)

S М^J_iх=0; S М^J_iу=0; S М^J_iz=0. (13-3)

Хотя приведенные уравнения имеют вид уравнений равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве, внутренние силы не уравновешиваются, т.к. они приложены к различным точкам системы и могут вызывать перемещения этих точек относительно друг друга.

Каждая точка М_i механической системы имеет массу m_i , а ее положение относительно системы отсчета Охуz в каждое мгновение определяется радиусом- вектором r_i или 3-мя координатами x_i, y_i, z_i.

Центром масс системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор которой

r_c= (Sm_i r_i)/m, (13-4)

где m= Sm_i - масса системы.

При проектировании на оси координат получим формулы, определяющие положение центра масс системы:

x_c=(Sm_i x_i)/m; y_c=(Sm_i y_i)/m; z_c=(Sm_i z_i)/m. (13-5)

Центр масс совпадает с центром тяжести системы тел.

Система тел, расстояния между точками не изменяются, называется неизменяемой.

Для образования неизменяемой системы каждую последующую точку нужно соединять идеальным стержнем, по крайней мере с тремя точками, уже входящими в неизменяемую систему.

Минимальное количество стержней, необходимое для образования неизменяемой системы определяется из равенства

К=3n- 6. (13-6)

Эта формула описывает модель твердого тела.

13.2. Моменты инерции твердого тела.

При вращательном движении твердого тела мерой инертности является момент инерции твердого тела относительно оси вращения.

Рассмотрим заданной твердое тело как множество МТ М_i(i=1,2,3…n).(рис.13.1).

Рис.13.1

Моментом инерции твердого тела относительно плоскости называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки на квадрат расстояния от этой точки до плоскости.

Опустим из каждой точки тела M_i перпендикуляры на плоскости yOz, zOx, xOy: M_ia_i=x_i; M_ib_i=y_i; M_id_i=z_i.

Введем обозначения:

J_yOz= Sm_i x_i²; J_zOz= Sm_i y_i²; J_xOy= Sm_i z_i². (13-7)

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси.

Для выяснения этого опустим из каждой точки тела M_i на оси перпендикуляры M_iА_i , M_iВ_i , M_iD_i . Для них справедливо

(M_iА_i)²= y_i²+ z_i², (M_iB_i)²= z_i²+ x_i², (M_iD_i)²= x_i²+ y_i².

Обозначим моменты инерции твердого тела относительно осей J_x, J_y, J_z, тогда:

J_x=Sm_i(y_i²+ z_i²); J_y=Sm_i(z_i²+ x_i²); J_z=Sm_i(x_i²+ y_i²). (13-8)

Относительно полюса момент инерции будет записываться в форме

J_O=Sm_i r_i²= Sm_i(x_i²+ y_i²+ z_i²). (13-9)

Момент инерции твердого тела относительно заданной оси z можно представить в форме

J_z= mi_z², (13-10)

где m - масса тела; i_z = - радиус инерции тела относительно оси.

При переходе от одной оси z к другой параллельной z₁ имеются формулы перехода:

J_z1= J_z+ md², (13-11)

где d - расстояние между осями.

Эта формула используется в случае приведения момента инерции тела к другой, параллельной оси.

Момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс (тяжести) имеет минимальное значение.

Момент инерции однородного тонкого стержня (рис.13.2).

Рис. 13.2.

Определим момент инерции стержня относительно оси Су.

Масса стержня равна m= rV= rfl, где r - плотность материала; V= fl - объем стержня.

Элементарная масса равна

m_i= rfDx.

Тогда для стержня относительно оси Су

J_Cy= Sm_ix_i²=Srfx_i²Dx.

Это выражение, переходя к пределу суммы, можно выразить через определенный интеграл

J_Cy= =fr =frl³/12= ml²/12 [кг*м²],[кгс*м*с²]. (13-12)

Момент инерции полого цилиндра относительно центральной оси.

(рис.13.3)

Рис.13.3.

Масса цилиндра

m= rHp(R₁²-R₂²).

Масса элементарного кольца, полученного разрезом плоскостями, перпендикулярными центральной оси, равна

m_i = rp(R₁²-R₂²)Dz.

Выделим на кольце элементарную площадку размерами Df= rdjdr , где r-радиус, проходящий через ее центр; j - угол между лучами. Ее масcа

m_j = r rdjdrdz.

Момент инерции элементарного кольца будет

J_j=S m_jr_i²= rdz =rdz2p =

=rdz2p(r⁴/4) = rdzp (R₁⁴- R₂⁴)/2= rdzp((R₁²- R₂²) (R₁²+ R₂²)/2.

Тогда момент инерции всего цилиндра будет

J_Сх=Hr p((R₁²- R₂²) (R₁²+ R₂²)/2= m(R₁²+ R₂²)/2, (13-13)

где m= Hrp((R₁²- R₂²)- масса цилиндра.

Очевидно, что момент инерции сплошного цилиндра будет

J_Сх= mR₁²/2. (13-14)

Формула момента инерции твердого тела относительно любой оси, проходящей через начало координат:

J_n= Acos²a + Bcos²β+ Ccos²g- 2Dcosβcosg-

- 2Ecosgcosa- 2Fcosacosβ, (13-15)где A= J_x; B=J_y; C=J_z; D=J_yz= Sm_iy_iz_i; E=J_zx= Sm_ix_iz_i; F=J_xy= Sm_iy_ix_i.

Слагаемые D,E,F- называются центробежными моментами инерции твердого тела относительно каждой пары координатных осей.

Преобразуя уравнение (13-15), можно получить уравнение

Ax²+ By²+Cz²-2Dyz-2Ezx-2Fxy=1. (13-16)

Это уравнение определяет поверхность 2-го порядка- эллипсоид инерции, по которой перемещается точка N. Три оси симметрии эллипсоида инерции называются главными осями инерции тела.

Если за оси координат принять главные оси инерции, то уравнение (13-16) приобретает вид

Ax²+ By²+Cz²=1. (13-17)

Здесь коэффициенты имеют новые значения, равные моментам инерции тела относительно главных осей в данной точке.

Эллипсоид инерции, соответствующий центру тяжести тела, называется центральным эллипсоидом инерции, а его оси- главными центральными осями инерции.