12.1. Дифф. уравнения. Переносная и кориолисова сила инерции.
Принцип относительности.
Два первых закона классической механики и все полученные на их основе уравнения справедливы для движения МТ относительно инерциальной системы отсчета.
Рассмотрим движение МТ относительно неинерциальной системы.
Положим, что система отсчета Wzhx является инерциальной, а не связанная с ней система Oxyz- неинерциальная (рис. 12.1)
Рис. 12.1
Примем систему Wzhx за условно неподвижную, а систему Oxyz - за подвижную систему отсчета.
Рассмотрим движение МТ М, не связанной неизменно с подвижной системой отсчета, а движущейся по отношению к ней. Движение точки М относительно системы Wzhx называется абсолютным, а относительно системы Oxyz - относительным.
Основное уравнение динамики для абсолютного движения точки М имеет вид
mw= SPi, (12-1)
где w - абсолютное ускорение; SPi - геометрическая сумма приложенных к точке сил.
В разделе «Кинематика» установлено, что при непоступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного wr, переносного we и кориолисова (поворотного) wc , т.е.
w=wr+ we+ wc.
(Кориолисово ускорение определяется векторным произведением wc=2(wexur)).
С учетом этого перепишем (12-1)
mwr+mwe+mwc=SPi.
Из полученного уравнения определим
mwr=SPi-mwe-mwc. (12-2)
Введем два вектора Фе= -mwe ; Фс=- mwc .
Эти векторы назовем переносной и кориолисовой силами инерции.
Подставим их в (12-2)
mwr=SPi+Фe +Фс. (12-3)
Уравнение (12-3)- основное уравнение динамики относительного движения МТ.
Из (12-1), (12-3) следует, что в случае непоступательного переносного движения относительное движение точки можно рассматривать как абсолютное, если к действующим на точку силам присоединить переносную и кориолисову силы инерции.
Уравнение (12-3) ранее примененным способом может быть разложено на уравнения по осям координат:
md2x/dt2= SXi+Фex +Фсx;
md2y/dt2= SYi+Фey +Фсy; (12-4)
md2z/dt2= SZi+Фez +Фсz.
Частные случаи относительного движения МТ:
1. Переносное движение- неравномерное вращение тела вокруг неподвижной оси.
В этом случае we= wee+ wwe.
В соответствии с этим переносная сила инерции Фe имеет две составляющие: вращательную силу инерции Фee= - mwee и центробежную силу инерции Фwe= - mwwe , т.е. Фe= Фee+ Фwe.
Тогда уравнение (12-3) принимает вид
mwr=SPi+Фee+ Фwe+ Фс. (12-5)
Модули переносного вращательного и переносного центростремительного ускорений равны
|wee|= MK*|ee|; wwe=MK* w2e,
где we , ee - алгебраические величины угловой скорости и углового ускорения переносного вращения; МК- расстояние в данное мгновение от точки М до оси вращения.
Переносная вращательная сила инерции Фee направлена противоположно вращательному ускорению, а ее модуль
Фee=m| wee|= m*MK*|ee|.
Переносная центробежная сила инерции Фwe направлена противоположно центростремительному ускорению, т.е. по радиусу от оси вращения, а ее модуль
Фwe= m wwe= m*MK* w2e .
Кориолисова сила инерции направлена противоположно кориолисову ускорению точки, а ее модуль
Фс=2m|we|*|ur|*sin (we , ur ).
Эта сила обратна направлению кориолисова ускорения, перпендикулярна векторам we , ur , т.е. перпендикулярна как к оси переносного движения, так и к касательной траектории относительного движения точки.
2. Переносное движение- равномерное вращение вокруг неподвижной оси.
В этом случае ee =0, Фee = 0, и основное уравнение примет вид
В этом случае we =0, Фс = 0, а потому (12-3) принимает вид
mwr=SPi+Фe. (12-7)
Правая часть (12-7) кроме приложенных сил содержит только переносную силу инерции, направленную противоположно ускорению поступательного движения системы Oxyz с модулем Фe=-mwe. В случае поступательного неравномерного криволинейного движения
Фe= Фet + Фen,
Где Фet= m|due/dt|, Фen = mu2/r.
4. Переносное движение- поступательное прямолинейное и равномерное движение.
В этом случае we=0, Фс = 0, а потому уравнение (12-7) принимает вид
mwr=SPi . (12-8)
Подвижная система отсчета является в этом случае тоже инерциальной системой.
Из сопоставления уравнений (12-8) и (12-1) следует, что при равномерном прямолинейном поступательном переносном движении уравнение (12-8), определяющее относительное ускорение МТ wr , не отличается от основного уравнения динамики (12-1), определяющего абсолютное ускорение точки. В этом случае относительное движение с динамической точки зрения не отличается от абсолютного движения.
Принцип относительности классической механики- никакие механические явления, происходящие в среде, не могут обнаружить ее прямолинейного и равномерного поступательного движения.
Этот принцип лежит в основе теории относительности.
12.2. Относительный покой. Сила тяжести.
При отсутствии относительного движения абсолютное ускорение точки равно ее переносному ускорению, т.е. w= we.
Тогда уравнение (12-1) принимает вид
mwe= SPi .
С учетом предыдущего его можно переписать
SPi + Фe= 0. (12-8а)
Т.о., в случае нахождения МТ в состоянии относительного покоя, геометрическая сумма приложенных к точке сил и переносной силы инерции равна нулю.
Пусть тело находится в покое на поверхности Земли. Условие относительного покоя выражается уравнением
P+ N+ Фew= 0,
где P - сила притяжения Земли, направленная к центру; N - реакция опоры; Фew - переносная сила инерции, из-за равномерного вращения представляющая собой центробежную силу инерции с модулем Фew= =mМКwе2; wе= (2p/24)*3600 с-1- угловая скорость вращения Земли радиусом R.
Рис.12.2
Т.к. сила тяжести G= - N, т.е. G= P+ +Фew. Причем сила G - равнодействующая силы притяжения Земли и переносной силы инерции, представляет собой силу тяжести, т.е. вес тела. Направление силы тяжести определяет направление вертикали к данной точке земной поверхности, а плоскость, перпендикулярная к силе G , является горизонтальной плоскостью.
По модулю центробежная сила инерции всегда мала по сравнению с весом:
Фew/G= mМКwe2/mg= ОМ*we2cosj/g= Rwe2cosj/g.
j- широта расположения тела.
Отношение Фew/G имеет максимальное значение на экваторе:
j= 0; R = 6370 км; g = 9,78 м/с2;
Фew/G = 0,00346.
Из этого следует, что G по модулю мало отличается от силы притяжения Р.
Наибольший вес тело имеет на полюсе, а наименьший- на экваторе.
Ускорение свободного падения на экваторе 983 см/с2, на полюсе 978 см/с2.
12.3. Отклонение падающих тел.
Все тела при падении на Землю отклоняются в восточном направлении. Это обусловлено вращением Земли.
Разместим начало координат подвижной системы отсчета с точкой поверхности Земли, лежащей на одной вертикали с начальным положением падающего тела М0 (рис.12.3)
Если не учитывать сопротивление воздуха, то на точку действует только сила притяжения Земли Р.
Основное уравнение динамики
mwe= SPi = Р+ Фwe + Фc . (12-9)
Поскольку Р+ Фwe= G, то (12-9) примет вид
mwe= G + Фc . (12-10)
Кориолисово ускорение точки направлено на запад перпендикулярно к плоскости меридиана, содержащей векторы we и ur. Кориолисова сила инерции Фc противоположна ускорению ,следовательно, она направлена на восток, т.е. в сторону положительного направления оси у. Ее модуль
Фc = 2m|we|*|ur | cos j .
Составим диф. уравнение движения точки М в предположении, что направление скорости ur движения мало отклоняется от вертикали
По формуле (12-15), зная высоту и широту падения тела, можно найти величину его отклонения от вертикали к востоку.
Тело, брошенное вертикально вверх, отклоняется от вертикали на запад, т.к. кориолисова сила инерции направлена перпендикулярно к плоскости меридиана к западу.
Пример 12.1. Тело весом 2Н положено на гладкую грань 3-х гранной призмы, другая грань которой лежит на горизонтальной плоскости.
Какое горизонтальное ускорение должна иметь призма, чтобы тело не двигалось относительно призмы и какое давление производит тело на призму в этом случае, если a= arctg (3/4) (рис. 12.4)
Рис. 12.4.
Решение. Если тело находится в состоянии относительного покоя по отношению к движущейся призме, то применимо уравнение (12-8а) SPi + Фe= 0.
Условно приложим к телу переносную силу инерции Фe , направленную противоположно переносному ускорению, являющемуся ускорением призмы. Модуль этой силы равен
Фe= mwe.
Составим уравнение сил
G+N+ Фe= 0. (12-16)
Проектируя векторы равенства на оси х, у, связанные с движущейся призмой, получим
G sina - Фecosa =0; N- Gcosa - Фesina =0. (12-17)
Из первого уравнения (12-17) найдем модуль ускорения
mg sina- mwecosa =0,
we= (mg/m) tga = g tga.
Из 2-го уравнения, учитывая, что cosa=1/ (1+tg2a)1/2, получим
