(МТ) по заданной неподвижной поверхности и плоской кривой.
Рассмотрим МТ М, движущуюся под действием задаваемой силы Р по некоторой поверхности, являющейся для точки связью (рис. 11.5).
Рис. 11.5
Пусть уравнение поверхности имеет вид f(x, y, z)= 0.
Рассмотрим случай, когда эта поверхность абсолютно гладкая. В этом случае реакция связи N направлена по нормали к поверхности и называется нормальной реакцией.
Согласно принципу освобождаемости от связи отбросим связь, заменив ее действие реакцией N. Тогда для несвободной МТ М получим основное уравнение динамики
mw=P+ N. (11-11)
Спроектировав векторы обеих частей равенства на оси координат получим диф. уравнение движения
При этом Nx= Ncos (N,i); Ny= Ncos (N,j); Nz= Ncos (N,k).
При наличии удерживающей связи, т.е. двух параллельных поверхностей, между которыми движется точка, реакция N может быть направлена по нормали к поверхности как в одну, так и в другую стороны. Условимся считать нормальную реакцию положительной, когда она направлена в сторону внешней нормали к поверхности, т.е. в сторону точек пространства, для которых f(x, y, z)> 0, и отрицательной- в противоположном случае.
Тогда косинусы углов между N и осями координат можно определить по формулам дифференциальной геометрии, как направляющие косинусы внешней нормали к поверхности, имеющей уравнение f(x, y, z)= 0:
Уравнения (11-15) называются диф. уравнениями движения несвободной материальной точки в форме Лагранжа.
Из трех диф. уравнений (11-15) и уравнений связи (11-1) в зависимости от времени можно определить неизвестные величины x, y, z, l.
Получив координаты точки как функции времени, определим движение точки М, а определив l, можно найти алгебраическое значение нормальной реакции поверхности по формуле
N= lDf. (11-16)
При наличии неудерживающей связи (одной поверхности) направление реакции совпадает с определенным направлением нормали. В том случае, когда N =0 с последующим изменением знака, происходит отрыв точки М от поверхности.
Рассмотрим теперь движение МТ по заданной негладкой неподвижной поверхности, уравнение которой f(x, y, z)= 0. В этом случае реакция связи R имеет две составляющие: нормальную реакцию N и силу трения F с модулем F= mN, направленную противоположно скорости точки (рис. 11.6)
Рис. 11.6.
Тогда основное уравнение динамики для несвободной МТ имеет вид:
После подстановки этого в (11-18) с учетом (11-15), получим
md2x/dt2= X+ l(¶f/¶x)- (F/u)dx/dt;
md2`y/dt2= X+ l(¶f/¶y)- (F/u)dy/dt; (11-19)
md2`z/dt2= X+ l(¶f/¶z)- (F/u)dz/dt.
Из трех уравнений (11-19), уравнений связи (11-1) и уравнения F= mN можно определить пять неизвестных величин: x, y, z, l, F. Алгебраические значения нормальной реакции определится по формуле N= lDf.
Если рассматривать движение МТ по заданной гладкой неподвижной линии, лежащей в одной плоскости (рис.11.7), то уравнение заданной линии будет записываться в форме
f(x, y)= 0, (11-20)
а уравнение динамики-
mw= P+N, (11-21)
а переходя к проекциям аналогично (11-12)…(11-14), получим
Однако при движении точки по заданной плоской линии удобней проектировать векторы уравнения (11-21) не на оси декартовых координат , а на естественные координаты, т.е. на направления касательной и нормали траектории, лежащие в плоскости кривой хОу (рис.11.7)
Рис. 11.7
При этом касательную направляют в сторону возрастания другой (дуговой) координаты s= O1M, отсчитанной от произвольно выбранного начала отсчета О1, а нормаль направляют к центру кривизны траектории.
Спроектировав все векторы (11-21) на оси, получим
mw cos(w,t)= Pt; mw cos(w,n)= Pn +N , (11-24)
где Pt, Pт - проекции силы Р на касательную и нормаль.
Из кинематики известно, что
w cos(w,t)= d2s/dt2; w cos(w,n)= u2/r.
Подставим это в (11-24)
md2s/dt2= Pt; mu2/r= Pn+ N. (11-25)
Эти уравнения называются уравнениями движения несвободной точки в форме Эйлера.
Интегрируя первое уравнение, можно определить сначала скорость, а затем уравнение движения М по заданной траектории s= f(t). Подставив скорость u= df/dt во второе уравнение можно найти алгебраическое значение нормальной реакции N.
Пусть теперь точка М, двигаясь по плоской линии, испытывает сопротивление движению в виде силы трения F с модулем F= mN, направленную противоположно скорости точки.
Основное уравнение динамики несвободной МТ будет иметь вид
mw=P+ N+ F. (11-26)
После разложения на естественные координаты
md2s/dt2= Pt- F ; mu2/r= Pn+ N. (11-27)
Эти уравнения вместе F= mN, где m - коэффициент трения, позволяют определить уравнение движения точки по заданной траектории, алгебраические значения N и модуль силы трения.
11.3. Математический маятник и его малые колебания.
Математический маятник- это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая движение в одной вертикальной плоскости под действие силы тяжести.
Пусть на точку М действуют две силы: вес G и реакция нити N (рис.11.8)
Рис. 11.8
Уравнения движения имеют вид
md2s/dt2= Pt= -G sinj = -mgsinj;
mu2/r= Pn+ N= -mg cosj+ N.
За начало отсчета дуговой координаты s примем наинизшее положение О1.
Так как s= O1M = lj, то
d2s/dt2= l d2jdt2.
Подставляя это в первое уравнение, получим
ml d2jdt2= -mgsinj или
d2jdt2+(g/l)sinj= 0. (11-28)
Это уравнение нельзя проинтегрировать по времени при помощи элементарных функций. Если при малом угле j принять sinj» j, то (11-28) примет вид
d2jdt2+(g/l) j= 0, (11-29)
которое при k= (g/l)1/2 имеет решение
j= a sin(kt+ β), (11-30)
где a - амплитуда угла j при малых колебаниях маятника.
Величина амплитуды зависит от начальных условий. Период колебаний определяется по частоте колебаний k:
T= 2p/k= 2p(l/g)1/2. (11-31)
Модуль реакции нити определим из второго уравнения при r= l:
N= mu2/l+ mg cosj. (11-32)
Для определения скорости преобразуем уравнение (11-28).
Т.к. d2jdt2= dw/dt= (dw/dj)dj/dt=(dw/dj)w, то получим
wdw/dj= -(g/l)sinj или wdw= -(g/l)sinj dj.
Проинтегрируем его
w2/2= (g/l)cosj+ C. (11-33)
Постоянную С определим из начальных условий. Пусть t0=0, w= w0, j=j0. Подставим это в (11-33)
w02/2= (g/l)cosj0 + C.
Отсюда С= w02/2- (g/l)cosj0.
Подставим полученное в (11-33)
w2=w02+ 2(g/l)(cosj- cosj0) . (11-34)
Умножим обе части равенства на l2:
u2= u02+2gl(cosj- cosj0). (11-35)
Подставив (11-35) в (11-32), найдем модуль реакции нити:
N= G[u02/(gl)+ 3 cosj- 2 cosj0]. (11-36)
Формула (11-36) справедлива не только для малых колебаний, поскольку получена не из приближенного, а из точного решения диф. уравнения.
Пример 11.1 Груз подвешен на нити длиной 70 см. В наинизшем положении ему сообщена горизонтальная скорость 4,9 м/с (рис. 11.9).
Рис. 11.9
Определить:1) в каком положении нить перестанет удерживать груз и он начнет двигаться как свободная точка; 2) при какой наименьшей начальной горизонтальной скорости груз опишет полную окружность.
Решение. Модуль реакции нити в любом положении равен
N= G[u02/(gl)+ 3 cosj- 2 cosj0].
Положение груза, когда нить перестанет его удерживать, определится из условия, что в этом положении реакция нити равна нулю:
Минимальная начальная скорость, при которой груз опишет полную окружность, будет такой же, как и при прохождении полуокружности, и определяется по формуле (11-36) из условия
