Несвободная материальная точка- такая точка, свобода движений которой ограничена.
Тела, ограничивающие движение точки, называются связями.
Пусть связь представляет собой поверхность какого-либо тела, по которой движется точка. Тогда координаты ее должны удовлетворять уравнению этой поверхности – уравнению связи
f(x,y,z)= 0. (11-1)
Если же точка движется по некоторой линии (шарик внутри трубки), то уравнением связи будет уравнение линии
f1 (x,y,z)= 0; f2 (x,y,z)= 0. (11-2)
Значения начальных условий при этом не могут быть независимымидруг от друга, а должны удовлетворять уравнениям связей.
Связи делятся на двусторонние, или удерживающие, односторонние, или неудерживающие.
Связь двусторонняя, если накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме равенств, определяющих кривые или поверхности в пространстве, на которых должна находиться эта точка.
Такая связь препятствует перемещению точки тела в двух противоположных направлениях.
Ограничения от односторонней связи выражаются неравенствами. Примером односторонней связи является тяжелый шарик М, привязанный к нити ОМ, закрепленный в точке О (рис. 11.1).
Рис.11.1 Рис. 11.2
Шарик может находиться не только на поверхности сферы радиусом ОМ, но и внутри ее. Движение шарика должно происходить как свободное до тех пор, пока он не удалится от неподвижной точки О на расстояние, равное длине нити. Рассмотренная связь имеет уравнение
x2+ y2+ z2 – l2£ 0. (11-3)
Примером двусторонней связи является совокупность двух горизонтальных плоскостей, препятствующих перемещению шарика по вертикали (рис.11.2).
Ниже будем рассматривать лишь связи, делящиеся на конечные и дифференциальные, в зависимости от того, является ли равенство, их выражающее конечным соотношением или дифференциальным уравнением вида
f(x, dx/dt, d2x/dt2, t)= 0. (11-4)
Если связи выражаются дифф. уравнениями, которые могут быть проинтегрированы, то они называются дифференциальными интегрированными связями. Если такое дифф. уравнение неинтегрируемо, т.е его нельзя привести к соотношению
f(x,y,z,t)=C, (11-5)
то такая связь называется неголономной. В зависимости от наличия в нем производных от координат, неголономная связь может быть первого или второго порядка.
Ниже рассматриваются лишь голономные механические связи, в свою очередь делящиеся на стационарные и нестационарные.
Если равенства, выражающие связи, не содержат времени, их называют стационарными, а если время входит явно- нестационарными.
Примером голономной, двусторонней стационарной связи служит абсолютно жесткий стержень ОМ длиной l, соединяющий материальную точку с неподвижной О (рис.11.3).
Рис. 11.3 Рис.11.4
Стержень ОМ ограничивает движение точки, допуская ее движение лишь по сферической поверхности радиусом l . Уравнение связи имеет вид
x2+y2+ z2- l2=0. (11-6)
Это уравнение связывает координаты и не содержит времени.
Если материальная точка движется по окружности с центром в начале координат и окружность расположена в плоскости yOz, то уравнение связи имеет вид y2+ z2= l2; x =0.
Рассмотрим пример односторонней нестационарной связи- материальную точку М, прикрепленную к концу нерастяжимой и невесомой нити КСМ, проходящей через неподвижное кольцо С (рис. 11.4)
Если конец нити К перемещается с постоянной скоростью u то длина нити СМ= l изменяется с течением времени согласно уравнению l= l0- ut, где l0- длина ОМ0 в начальное мгновение.
Если нить КСМ остается в одной плоскости, то в системе координат xOy
x2+ y2= l2
или
x2+ y2- (l0- ut)2= 0. (11-7)
Для каждого мгновения уравнение связи определяет окружность, но с течением времени радиус этой окружности уменьшается. Т.О. точка М должна находиться на окружности, стягивающейся с течением времени в точку. Уравнение связи имеет вид
f(x,y,t)=0 (11-8) и кроме координат х и у содержит время t.
Неравенства, соответствующие нестационарной связи, имеют общий вид
f(x,y,z, t)£ 0 (11-9)
или
f(x,y,z, t)³ 0. (11-10)
Все силы, действующие на несвободную материальную точку или несвободное тело, делят на задаваемые (активные) силы и реакции связей. Задаваемые силы выражают действие на материальную точку некоторых тел, вызывающих или стремящихся вызвать определенное движение.
Реакции связей выражают действие связей, ограничивающих движение материальной точки или препятствующих ему.
При изучении движения несвободной материальной точки применяют принцип освобождаемости точки от связей, использованный в курсе статики. Этот принцип позволяет рассмотреть движение несвободной точки как движение свободной точки под действием задаваемых сил и реакций связей.
