Свободные колебания

Колебательное движение происходит при условии, если на точку М, отклоненную от положения покоя, действует сила Р, стремящаяся вернуть точку в это начальное положение. Такая сила называется восстанавливающей.

Пусть восстанавливающая сила пропорциональна отклонению от положения покоя, т.е. Р= с*ОМ, где с- постоянный коэффициент. Это может быть сила упругости пружины.

Пусть, например, тело весом G, лежащее на гладкой горизонтальной поверхности в положении О (рис.10.3) соединено с недеформированной пружиной, другой конец которой закреплен в точке А. Силы уравновешены.

Рис. 10.3

При отклонении в положение М₁ на тело будет действовать сила упругости пружины, стремящаяся вернуть его в положение покоя

Р₁= с*ОМ₁.

Различают 4 основных случев колебательного движения материальной точки:

1) свободные колебания под действием только восстанавливающей силы;

2) свободные колебания под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления движению;

3) вынужденные колебания под действием восстанавливающей силы и силы периодического характера, возмущающей силы;

4) вынужденные колебания под действием восстанавливающей силы, возмущающей силы и силы сопротивления движению.

Рассмотрим свободные колебания материальной точки при наличии восстанавливающей силы и силы сопротивления движению, которая всегда направлена против движения точки.

Положим, что восстанавливающая сила описывается уравнением

Р= с|x|,

а сила сопротивления- уравнением

R= - au,

где х – смещение точки от начала координат; a - коэффициент пропорциональности, часто определяемый как обобщенный коэффициент трения.

Проекции сил на ось х записываются в форме

Р_х=- сх; R_x=- adx/dt. (10-20)

Cоставим дифференциальное уравнение

md²x/dt²= åX_i= P_x+ R_x= -cx- adx/dt

или

d²x/dt²+(a/m)dx/dt+ (c/m)x= 0,

или

d²x/dt²+2ndx/dt+ k² x= 0, (10-21)

где m- масса материальной точки; n=a/m- коэффициент сопротивления среды или коэффициент затухания; k= (c/m)^1/2- частота свободных колебаний или собственная частота рассматриваемой системы (материальной точки и связей).

Уравнение (10-21) может быть также переписано в форме

(p²+ 2np+k²)x= 0, (10-22)

где p= d/dt- оператор дифференцирования.

Применяется еще одна модификация уравнения (10-22)

(T²p²+2zTp+1)x=0, (10-23)

где T= 1/k – постоянная времени данной системы; z=2n/ k² – коэффициент относительного демпфирования.

Для интегрирования (10-21) используем характеристическое уравнение

p²+ 2np+k²= 0,

р_1,2=- n± (n²- k²)^1/2. (10-24)

Если n< k, то корни (10-24) будут комплексными и тогда общее решение записывается в форме

x= e^-nt[C₁cos(k²- n²)^1/2t+ C₂sin(k²- n²)^1/2t).

Введя новые постоянные C₁= a sinβ, C₂= a cosβ , и подставив их в это уравнение, получим

x=a e^-nt sin(wt+β), (10-25)

где w= (k²- n²)^1/2- собственная циклическая частота колебаний данной системы; a, β - постоянные, определяемые из начальных условий, причем β характеризует начальную фазу колебаний.

Движение по уравнению (10-25) имеет колебательный характер, т.к. координата х периодически изменяет свой знак.

Поскольку | sin(wt+β)|£ 1, то абсолютная величина х удовлетворяет условию |x|£ | a e^-nt |. Это означает, что график колебаний (рис. 10.4) заключен между двумя симметричными относительно оси х кривыми, имеющими уравнения х=- a e^-nt; х= a e^-nt.

Рис. 10.4

Такие колебания называются затухающими.

Период колебаний Т* представляет собой промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положение покоя:

Т*=2p/k*=2p/w. (10-26)

Отвлеченное число e^-nT*/2 называется декрементом колебаний.

Если в данной системе будут отсутствовать потери на трение n=0, то система будет называться консервативной, и уравнение (10-21) станет

d²x/dt²+ k² x= 0. (10-27)

а решение примет вид (см. (10-25))

x=a sin(w₀ t+β), (10-28)

где w₀= k- собственная циклическая частота колебаний консервативной системы; а –амплитуда колебаний.

Колебания в такой систем незатухающие и их график показан на рис. 10.5

Период колебаний будет равен

Т*₀=2p/k= 2p/w₀. (10-29)

Рис. 10.5

Из сравнения (10-26) и (10-29) видно, что период свободных затухающих колебаний соотносится периодом свободных незатухающих колебаний как

T*= 2p/[k(1-(n/k)²)^1/2]= T*₀/[1-(n/k)²]^1/2. (10-30)

Период колебаний при наличии затухания больше, чем при отсутствии затухания.

Если n> k, то корни (10-24) будут вещественными отрицательными и различными, т.е.

p_1,2= -n±(n²-k²)^1/2,

и тогда общее решение запишется в форме

x= e^-nt[C₁ + C₂ ]. (10-31)

Вводя новые постоянные и переходя к гиперболическим функциям, можно получить следующее уравнение

x= ae^-ntsh( t+ β). (10-32)

График движения по этому уравнению приведен на рис. 10.6

Рис. 10.6.

Такое движение назы-вается апериод-ческим, а система тел- апериодической 2-го порядка.

Если массой точки можно пренебречь m=0, то дифференциальное уравнение колебаний приводится к виду

adx/dt+ сх=0

или

dx/dt+ lх=0 (10-33)

или

(р+ l)х=0, (10-34)

где l= с/a.

Решение записывается в форме

x= C₁e^-lt.

Постоянная С₁ определяется из начальных условий. Тело (точка) выведенное из положения покоя возвращается назад по кривой 3, приведенной на рис.10.6.

Такое движение тоже называется апериодическим, а система- апериодической 1-го порядка.

Если n=k, то корни уравнений (10-21), (10-22) будут вещественными и равными и отрицательными.

Общее решение будет иметь вид

x=e^-nt(C₁t+ C₂). (10-35)

Для начальных условий t=0, x= x₀, dx/dt= u₀ решение имеет вид

x=e^-nt[x₀+(u₀+ nx₀)t. (10-36)

Движение, определяемое этим уравнением тоже называется апериодическим.

Пример 10.1. Груз весом G подвешен на двух последовательно соединенных пружинах (рис.10.7), имеющих коэффициенты жесткости с₁ и с₂. Определить период свободных колебаний, пренебрегая потерями на трение.

Рис.10.7.

Решение. В связи с отсутствием трения систему можно рассматривать как консервативную.

Период колебаний равен

Т*₀=2p/k.

k= (c/m)^1/2.

Направим ось у из точки закрепления пружины вниз. По аналогии с (10-20) следует, что с= - Р/у. Поэтому

с= G/у.

Суммарное статическое удлинение пружин равно

у_ст= у_1ст+ у_2ст= G/c₁+ G/c₂=G(c₁+c₂)/(c₁c₂)= Gc_пр .

Здесь приведенный коэффициент жесткости

с_пр= c₁c₂/(c₁+c₂).

Поскольку G= mg, то для данной системы

с_пр = mg/у_ст.

Откуда

k= [mg/(mу_ст)]^1/2 =(g/y_cт)^1/2= [g/(Gc_np )]^1/2.

Следовательно,

Т*₀= 2p/(Gc_np /g)^1/2. (10-37)

Пример 10.2. К пружине жесткостью с= 10 сН/см, закрепленную неподвижно в точке А (рис.10.8) прикреплена стальная пластинка массой m= 0,05кг, находящаяся между полюсами магнита. Магнитный поток равен Ф= 2*10^-5 вебер. Сила сопротивления движению пластинки R= mФ²u, где m=10⁹; u - скорость в м/с.

Определить движение пластинки, если ей сообщить начальную скорость u= 26,8 см/с, направленную вниз.

Рис. 10.8

Решение. Направим ось у вниз, а за начало координат примем положение центра тяжести пластинки, соответствующее статическому удлинению пружины. Тогда начальные условия будут: t=0; y₀=0;dy₀ /dt= u₀.

На движущуюся пластинку в положении М действуют силы: G- сила тяжести; Р- сила упругости пружины, проекция которой на ось у равна P_y= - c(y_ст+y), и сила сопротивления R= mФ²u , имеющая проекцию на ось у R_y=-mФ²dy/dt.

Дифференциальное уравнение движения пластинки имеет вид

md²y/dt²=åY_i= P_y+R_y+G= -c(y_ст+y)- mФ²dy/dt+ G.

Т.к. Р_ст= су_ст = G , то получим

md²y/dt²= -cy- mФ²dy/dt

или

d²y/dt²+ (mФ²/m) dy/dt+ (c/m)y= 0. (10-38)

Отсюда, обращаясь к уравнению (10-21), следует, что

2n= mФ²/m и n=10⁹ *4*10^-10 /(2*0,05)= 4c^-1 ;

c=10сН/см=10 Н/м;

k²=c/m и k=(c/m)^1/2=(10/0,05)^1/2= 14,14 с^-1 .

Т.к. n< k, то движение пластинки является колебательным затухающим. Уравнение может быть записано в форме

y= ae^-ntsin( t+ β).

Постоянные a, β определим из начальных условий.

После первого дифференцирования по этого уравнения получим

dy/dt=- nae^-ntsin( t+ β)+ a ^-ntcos( t+ β)=

=- nу+ a( e^-ntcos( t+ β). (10-39)

Т.к. в начальный момент t=0, y=y₀ =0, dy/dt= u₀, то

y₀=a sin β ;

u₀= -ny₀ +a cosβ или (u₀+ny₀ ) / =а cosβ.

Отсюда

а= [у₀²+ (u₀+ny₀ )²/ (k²- n²)]^1/2=u₀/(k²- n²)^1/2= 26,8/(200- 16)^1/2= 1,98 см.

При у=0

cosβ=(u₀+ny₀ ) /( *а)=26,8/[(200-16)^1/2*1,98]= 0,998.

β=3°40’=0,064 рад.

Уравнение движения будет

y= 1,98e^-4tsin(13,56t+ 0,064) [см].

10.6. Вынужденные колебания материальной точки.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний малой амплитуды при наличии сопротивления движению записывается в форме

md²x/dt²+ adx/dt+ cx= F(t). (10-40)

Это уравнение может быть переписано в форме

d²x/dt²+ (a/m) dx/dt+ (c/m) x= (1/m)F(t). (10-41)

или

d²x/dt²+2ndx/dt+ k² x=(1/m)F(t). (10-42)

Коэффициенты в этих уравнениях имеют тот же смысл, что и в уравнениях (10-21), (10-22). F(t) – обобщенная внешняя сила, изменяющаяся во времени; х - обобщенная координата.

В операторной форме уравнение (10-42) имеет вид

(p²+ 2np+k²)x(t)= (1/m)F(t) (10-43)

или

(T²p²+2zTp+1)x(t)= (1/m)F(t), (10-44)

Общее решение равно сумме его частного решения х₁ и общего решения х₂ линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (при F(t) =0).

Решение, характеризующее свободные затухающие колебания системы, записывается в форме

x₂ =a e^-nt sin(wt+β).

Подобные уравнения достаточно просто решаются с использованием операторного метода решения или с использований интегрального преобразования Лапласа.

F(s)= e^-stf(t)dt, (10-45)

где f(t)- действительная функция, называется оригиналом; t- время; s= s+jw. – комплексная переменная; F(s) - изображение функции f(t) на комплексной плоскости. [2].

Преобразование имеет следующие основные свойства:

1. Умножение аргумента оригинала или изображения на некоторое число приводит к делению изображения или оригинала и их аргумента на это же число

f(at)® (1/a)F(s/a); F(as)®(1/a)f(t/a).

Здесь под аргументом понимается соответственно t и s.

2. Изображение суммы конечного числа оригиналов равно сумме их изображений

[f(t)+ j(t)]® [F(s)+ j(s)].

3. Изображение произведения оригинала на постоянную величину равно произведению изображения на эту постоянную

af(t)® aF(s). )

4. Произведение двух изображений является изображением и равносильно свертыванию оригиналов

F(s)G(s) ® f(t)g(t-t)dt.

Интеграл в правой части называется сверткой.

5. Изображение производных оригиналов находится из соотношения

f⁽ⁿ⁾(t) ® sⁿF(s) - f(t=+0)s^n-1- f ’(t=+0)s^n-2…

... f ^(n-2)(t=+0)s - f ^(n-1)(t=+0),

где f ⁽ⁿ⁾(t) - производная n-го порядка от f(t) по t; f(t=+0), f ’(t=+0),… f ^(n-1)(t=+0)- предельные значения, к которым стремятся функция- оригинал и ее производные, когда t стремится к нулю справа. Эти значения называются правосторонними начальными условиями.

При нулевых правосторонних начальных условиях

f(t=+0)= f ’(t=+0)=…f ^(n-2)(t=+0)= f ^(n-1)(t=+0)= 0

дифференцирование сводится к соотношению

f⁽ⁿ⁾(t) ® sⁿF(s).

6. Интегрирование оригинала от нуля до переменной t соответствует в пространстве изображений делению изображения на s

f(t) dt ® (1/s)F(s).

Для ряда случаев, разработаны таблицы перехода от оригиналов к изображениям и наоборот, приведенные в табл. 2.1.

Пусть движение в какой- либо системе описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

a_ndⁿy/dtⁿ+ a_n-1d^n-1y/dt^n-1+…+ a₁dy/dt+ a₀ y(t)=

=b_m d^mx/dt^m+ b_m-1d^m-1x/dt^m-1+…+ b₁dx/dt+ b₀x(t) .

Проведем преобразование уравнения (2-40) по Лапласу при нулевых начальных условиях, используя свойства 2,3,5

( a_nsⁿ + a_n-1s^n-1+…+ a₁s + a₀) Y(s)=

=(b_m s^m + b_m-1 s^m-1+…+ b₁s + b₀ )X(s) .

Если y- выходная переменная, а х- входная, то отношение

b_m s^m + b_m-1 s^m-1+…+ b₁s + b₀

W(s)= Y(s)/X(s)=

a_nsⁿ + a_n-1s^n-1+…+ a₁s + a₀,

называется передаточной функцией.

Введем оператор pºd/dt и перепишем уравнение (2-42)

b_m p ^m + b_m-1 p ^m-1+…+ b₁ p + b₀

y(t) = x(t) .

a_n p ⁿ + a_n-1 p ^n-1+…+ a₁ p + a₀,

Это выражение формально совпадает с подобным выражением, определенным из (2-40). Следовательно, передаточная функция определяет связь между выходной и входной переменными в пространстве оригиналов.

Операторный полином левой части уравнений (2-40) и (2-41) характеризует собственные свойства системы, которые не зависят от внешних воздействий. Влияние воздействия описывается правым полиномом.

Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2-40) имеет вид

а_nlⁿ+a_n-1l^n-1+…+a₁l+ a₀ = 0. (2-44)

Поэтому полином

D(p)= а_npⁿ+a_n-1p^-1+…+a₁p+a₀

называется характеристическим полиномом.

Динамическая система подвергается различным воздействиям. Обычно рассматривают некоторые, типовые. Зная реакцию на них, можно прогнозировать поведение системы в различных ситуациях.

Внешняя сила может изменяться по разным законам. Рассмотрим некоторые случаи.

1. F(t)= F₀cos(Wt).

Поскольку с течением времени x₂ стремится к нулю, то установившиеся колебания будут изменяться по гармоническому закону с той же циклической частотой w, однако амплитуда и начальная фаза будут другими:

x=Acos(wt+ j), (10-46)

где A= F₀/{c[k²-w²)²+4n²w²]^1/2- амплитуда колебаний;

j=- arctg[2nw/(k²- w²)]- сдвиг по фазе.

Решение в этом случае сводится к определению передаточных и частотных характеристик.

Уравнение (10-40) перепишем в форме

[(m/с)р² + (a/с)p+ 1]x(t) =с^-1F(t).

Подставляя в это уравнение вместо p переменную Лапласа s= jw, (w- частота возмущающих колебаний) получим в изображениях по Лапласу

X(s)[(m/с)s² + (a/с)s+ 1]= F(s)/c. (10-47)

Передаточная функция при нулевых начальных условиях запишется в форме

W(s)=X(s)/F(s)=c^-1/[(m/с)s² + (a/с)s+ 1]. (10-48)

Передаточная функция описывает отношение изображений по Лапласу выходной координаты к входному (внешнему) воздействию.

Модуль этой величины характеризует отношение амплитуд установившихся колебаний входной и выходной величин от частоты

| W(jw)|= |F₀/A|= c^-1/[(1-w²m/с )²+(wa/с)²]^1/2, (10-49)

а фазовая характеристика характеризует сдвиг по фазе колебаний выходной и входной величин

j= - arctg{(wa/с)/[1-(m/с)w²]}, (10-50)

который увеличивается с ростом потерь на трение.

На рис.10.9 показаны кривые входного х и выходного сигналов у,

Рис. 10.9

Соотношение колебаний на входе и выходе звена или системы.

а на рис.10.10 в качестве примера приведены частотные характеристики колебательной системы, имеющей некоторое демпфирование.

Рис. 10.10

На рис.10.10,б приведены логарифмическая амплитудно-частотная и фазо- частотная характеристики. Здесь всплеск L соответствует резонансу. Величина всплеска зависит от демпфирования, т.е. коэффициента n. Резонансная частота равна:

w_р= (с/m)^1/2. (10-51)

Амплитуда колебаний при резонансе равна

А= c^-1F₀[(1- w_p²m/с )²+(w_pa/с)²]^1/2. (10-52)

Передаточные функции и частотные характеристики системы тел дают большую информацию о динамических свойствах данной системы.

При частоте возмущающей силы, близкой частоте свободных колебаний в случае отсутствия трения наступает явление, называемое биениями. Период изменения амплитуды при этом составляет

Т_А=4p/(р- k),

где р - частота вынужденных колебаний материальной точки.

Поскольку р» k , то Т_А стремится к бесконечности.

2. Внешнее воздействие изменяется скачком, т.е. F(t)= F₀*1(t).

Реакция системы на такое воздействие называется переходным процессом или характеристику.

Найти переходную характеристику звена с передаточной функцией

W(s)= x(s)/y(s)= b₀/(1+a₁s + a₂s²)= b₀/(1+ 2zTs+ T²s²)

при скачкообразном внешнем воздействии y(t)= c*1(t).

Уравнение движения в изображениях

x(s)( 1+ 2zTs+ T²s²)= b₀c/s.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные, т.е.

D(s)=a₂{a^-1₂+ sa₁a^-1₂ + s²)=a₂(s+s₁)(s+s₂).

Тогда

s_1,2={ - a₁a^-1₂ ± [(a₁a^-1₂)²- 4a^-1₂]^0,5}/2= { - a₁a^-1₂ ± j[4a^-1₂ -(a₁a^-1₂)²]^0,5}/2=

=-zT^-1± [(z²-1)/T²]^0,5= -z T^-1± j[(1- z ²)/T ²]^0,5= -a ± jw ,

где z <1.

Применив формулу пересчета, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, получим

x(t)= bc{1- exp(-a t)[cos(wt)+ aw^-1sin(wt)]}.

T- называется постоянной времени звена; z - коэффициентом демпфирования. Чем меньше Т , тем быстрее завершается переходный процесс. Значение z оказывает влияние на величину перерегулирования.

Звено с такой характеристикой называется колебательным.

Если z> 1, то корни характеристического полинома D(s) будут отрицательными действительными числами. Тогда переходная функция станет

x(t)= bc[1+ C₁exp(l₁t)+ C₂exp(l₂t)],

где C₁= l₂/(l₁- l₂); C₂= l₁/(l₂- l₁); l_1,2= -zT^-1±T^-1(z²-1)<0; C₁<0; C₂>0;

½l₂ ½> ½l₁ ½ .

Звено с такой характеристикой называется апериодическим 2-го порядка.

При z=1

x(t)= bc [ 1- (1+t/T)exp(-t/T)].

В случае z=0

x(t)= bc [ 1- cos(t/T))].

Звено с такой характеристикой называется консервативным. На рис. 10.11 показаны переходные характеристики рассмотренных звеньев.

Рис. 10.11

Переходные характеристики:

1- апериодическое звено 1-го порядка;

2- апериодическое звено 2-го порядка;

3- колебательное звено;

4- консервативное звено (z=0).

Пример 10.3. Прямоугольная пластина весом 0,5Н, помещенная в сосуд с вязкой жидкостью прикреплена к концу пружины АВ с коэффициентом жесткости с= 0,25 Н/см. В некоторое мгновение ползунок А начинает совершать гармонические колебания y₁=b sin(wt), где b = 2 см, w = 15с^-1. Коэффициент силы сопротивления F_u= auравен a= 3,06мН*с/см.

Получить уравнение вынужденных колебаний.

Решение. Пластинку будем рассматривать как материальную точку с массой m= G/g= 0,5/9,80= 0,051 кг. с= 25Н/м; b= 0,02 м; a= 0,306 Н*с/м

Совместим начало координат О с положением покоя точки М, соответствующим статическому удлинению у_ст пружины при условии, что ползунок А, удерживающий пластину М, имеющую координату у (рис. 10.12) занимает среднее положение О₁. На движущуюся пластину действуют силы: силы тяжести G, упругости пружины P, сила сопротивления жидкости F_u.