Учета сопротивления воздуха.

Совместим начало координат О с точкой вылета тела (рис. 10.2).

Рис. 10.2

Начальные условия: t=0 y₀=0, x₀= 0; dx₀/dt= u_ox=u_ocosa;

dy₀/dt=u_oy = u_o sina

Составим дифференциальное уравнение движения тела под действием постоянной силы тяжести в декартовых координатах:

md²x/dt²= åX_i= 0; md²y/dt²= åY_i= -G= -mg.

Проекции ускорений из этих уравнений:

d²x/dt²= 0; d²y/dt²= -g.

После интегрирования дважды вдоль по оси х

dx/dt= С₁; x=C₁t+ C₂.

Подставим в 1-е уравнение dx₀/dt= u_ocosa, получим

C₁= u_ocosa.

После подстановки во 2-е уравнение t=0, x₀= 0

С₂= 0.

Поэтому

dx/dt=u_ocosa., x=tu_ocosa. (10-15)

Уравнения показывают, что проекция скорости тела на горизонтальную ось постоянна и горизонтальное перемещение совершается равномерно, т.е. по инерции.

Проинтегрируем дважды по времени уравнение d²y/dt²= -g:

dy/dt= -gt+ C₃; y= -gt²/2+ C₃t+ C₄ .

Подставим t=0, dy₀/dt= u_o sina:

С₃=u_o sina.

Подставим во второе уравнение t=0, y₀ = 0:

С₄= 0.

При найденных значениях С₃ и С₄:

dy/dt=u_o sina- gt; y= tu_o sina- gt²/2. (10-16)

Из уравнений (10-16) следует, что вертикальное движение является равнопеременным. При подъеме оно замедленное, а при спуске- ускоренное.

Исключив время из вторых уравнений систем уравнений (10-15), (10-16)

x=u₀tcosa; y= u₀tsina- gt²/2,

получим уравнение траектории

y=xtga- gx²/(2u_o² cos²a.) (10-17)

Это парабола с вертикальной осью и вершиной в наивысшей точке.

Продолжительность полета определяется из уравнения

0= tu_o sina- gt²/2, т.е. t₄ =2u_osina/g.

Отсюда дальность полета

L= x=tu_ocosa=[2u_osin(a)/g]u_ocosa= (u²_o /g)sin(2a). (10-18)

Наибольшую высоту подъема тела определим из условия, что в наивысшей точке проекция скорости на вертикальную ось равна нулю:

u_2y=u₀sina - gt₂ =0;

t₂=(u₀sina)/g.

H_max =(u² ₀sin² a)/(2g). (10-19)