Динамика свободной материальной точки.

Дифференциальное уравнение движения в декартовых координатах.

Основное уравнение движения записывается в форме

mw= , (10-7)

После проектирования на координатные оси получим:

mw*cos(w,i)= ; mw*cos(w,j)= ; mw*cos(w,k)= . (10-8)

Поскольку

w*cos(w,i)= w_x; w*cos(w,j)= w_y; w*cos(w,k)= w_z, то

mw_x= ; mw_y= ; mw_z= . (10-9)

Уравнения (10-9) называются диф. уравнениями движения материальной точки.

Дифференциальное уравнение движения в естественных

координатах.

Спроектируем обе части векторного равенства (10-7) на естественные координатные оси (подвижные)- касательную, главную нормаль, бинормаль (рис. 10.1)

Рис. 10.1

mw*cos(w,t)= ,

mw*cos(w,n)= , (10-10)

mw*cos(w,b)= .

Поскольку w*cos(w,t)= d²s/dt²; w*cos(w,n)=u²/r, то

md²s/dt²= ; mu²/r= ). (10-11)

Из кинематики известно, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, и его проекция на бинормаль равна нулю: w*cos(w,b)=0.

Поэтому из 3-го выражения (10-10) следует, что сумма проекций всех сил, приложенных к точке, на бинормаль равна нулю:

= 0.

Уравнения (10-11) называются естественными уравнениями движения материальной точки.

С помощью приведенных дифференциальных уравнений можно решать две основных задачи динамики точки.

1-я задача. Зная массу и уравнение движения точки, найти модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке.

X= md²x/dt²; Y= md²y/dt²; Z= md²z/dt²;

P= (X²+ Y²+ Z²)^1/2;

cos(P,i)= X/P; cos(P,j)= Y/P; cos(P,k)= Z/P.

2-я задача. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу, а также начальное положение и начальную скорость, получить уравнение движения точки.

Для решения необходимо в уравнения (10-9) подставить массу и суммы проекций сил и дважды проинтегрировать по времени.

При этом после интегрирования каждого уравнения появятся две постоянных, т.е. всего будет шесть постоянных. Их значения определяют по начальным условиям движения для каждой из координатных осей. Подставив найденные значения постоянных в уравнения, получают искомые уравнения движения.

10.3 Свободное падение тела без учета сопротивления воздуха.

Вес тела G. Пусть ось y направлена по траектории движения и в сторону его движения. Начало координат соответствует начальному положению тела:

при t=0 y₀=0, dy/dt= 0.

Дифференциальное уравнение имеет вид:

md²y/dt²= åY_i= G= mg.

Откуда d²y/dt²= g, т.е. движение равноускоренное.

После двойного интегрирования по времени получим:

dy/dt= gt+ C₁; y=gt²/2+C₁t+ C₂.

При t=0 dy/dt= 0, тогда С₁= 0.

При t=0 y₀=0, тогда С₂= 0.

Уравнения примут вид:

dy/dt= gt; (10-12)

y= gt²/2. (10-13)

Следовательно время свободного падения с высоты H

H= gt²/2, t_H = (2H/g)^1/2. (10-14)