В соответствии с теоремой о скоростях точек плоской фигуры в каждый момент времени существует точка, неизменно связанная с плоской фигурой, скорость в которой равна нулю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС).
Пусть известна скорость uО некоторой точки О плоской фигуры (рис.8.7) и угловая скорость фигуры w в некоторый момент времени.
Рис. 8.7
Примем точку О за полюс. Тогда скорость любой точки фигуры будет равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости точки вокруг этого полюса. Проведем построения, показанные на рис.8.7. Для этого восставим в точке О перпендикуляр к направлению скорости uО так, чтобы направление поворота скорости uО к этому перпендикуляру совпадало с направлением вращения фигуры.
Вращательные скорости всех точек этого перпендикуляра вокруг полюса О направлены противоположно скорости полюса.
Найдем такую точку Р, вращательная скорость которой равна по модулю скорости полюса uО , т.е. uОР= uО.
Поскольку направления этих скоростей противоположны ,то
uОР= -uО.
Скорость точки Р
uР= uО +uОР= 0.
Следовательно, точка Р в рассматриваемый момент времени является мгновенным центром скоростей.
Т.к. uОР=ОР*w= uО, то
ОР= uО/w. (8-11)
Т.е. мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре к направлению скорости полюса, на расстоянии от полюса, равном uО/w.
Определение скоростей точке плоской фигуры при помощи мгновенного центра скоростей
Пусть на рис. 8.8 точка Р является мгновенным центром скоростей.
Рис. 8.8
Для других точек получим
uА=uР +uРА; uВ=uР +uРВ; uК=
= uР + uРК.
Однако скорость точки Р, как мгновенного центра, в данный момент
времени равна нулю, тогда
uА= uРА; uВ= uРВ; uК= uРК. (8-12)
Из этого следует, что скорости любой точки в данное мгновение представляют собой вращательные скорости этих точек вокруг мгновенного центра скоростей. Поэтому
uА= РА*w; uА^ РА;
uВ= РВ*w; uВ^ РВ; (8-13)
uК= РК*w; uК^ РК.
Кроме того,
uВ/uА= РВ/РА; uК/uА= РК/РА; и т.д.
Т.е. модули скоростей точек фигуры в каждое мгновение пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей.
Случаи определения положения мгновенного центра скоростей (мцс).
1. Имеется расположение точек как на рис. 8.9.
Рис. 8.9
Пусть известны прямые, по которым направлены скорости точек А и В. Тогда МЦС фигуры определяется как точка пересечения перпендикуляров к этим точкам, восставленных в точках А и В. Зная модуль скорости точки А и определив расстояние этой точки от мцс РА, находим угловую скорость плоской фигуры w =uА/РА.
Модуль скорости точки В можно определить из системы (8-13)
uВ/uА= РВ/РА - uВ= uА*РВ /РА или uВ=w*РВ.
2. Если скорости точек А и В известны и параллельны между собой (рис. 8.10) и перпендикулярны АВ, то для определения положения мцс необходимо вычислить
uВ/uА= РВ/РА.
Рис. 8.10
Поскольку концы скоростей точек А и В лежат на прямой,
проходящей через МЦС, то пересечение этой прямой с прямой АВ определяет МЦС.
При равенстве скоростей точек А и В и их параллельности МЦС находится в бесконечности, а угловая скорость равна нулю.
3. Если скорости точек А и В плоской фигуры равны и не перпендикулярны к АВ (рис. 8.11), то МЦС находится в бесконечности, т.к. АР= ¥.
Рис. 8.11
В этом случае w= uА/РА = 0.
Расстояние от всех точек плоской фигуры до МЦС равны между собой. Поэтому скорости всех точек фигуры геометрически равны.
Следует учесть, что при поступательном движении плоской фигуры скорости всех ее точек в каждое мгновение также геометрически равны и МЦС находится в бесконечности.
Если условие uВ=uА справедливо в течение некоторого промежутка времени, а не только в отдельные мгновения, то движение плоской фигуры поступательно. Если же это равенство справедливо только в некоторые мгновения, то нельзя утверждать, что плоская фигура движется поступательно.
4. В случае качения плоской фигуры по неподвижной поверхности без скольжения МЦС находится в точке ее соприкосновения с линией поверхности (рис. 8.12)
Рис. 8.12
Пример 8.3. Две параллельные рейки движутся в противоположных направлениях с постоянными скоростями u1 иu2 (рис. 8.13). Диск радиусом R движется между ними без скольжения.
Рис. 8.13
Найти угловую скорость и скорость движения его центра.
Решение. Т.к. скольжения нет, то скорости движения точек М1 и М2 равны скоростям движения реек.
Соединяем концы скоростей точек (рис.8.13,б). Точка пересечения этого отрезка с диаметром М1М2 является МЦС.
При равных скоростях центр диска будет неподвижным.
8.6. Ускорения точек плоской фигуры.
Теорема. Ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса. (рис.8.14)
Рис. 8.14
Пусть известно ускорение wO некоторой точки О плоской фигуры и алгебраические величины угловой скорости и углового ускорения w, e, т.е. кроме их модулей известны и направления и характер вращения. Направление движения показано на рис. 8.14
Примем точку О за полюс.
В соответствие с теоремой о скоростях точек плоской фигуры
uА= uО + w х rOA
Ускорение точки А
wА= duА/dt= duО /dt+ dw/dt xrOA+w x drOAdt.
Т.к. dw/dt = e и drOAdt= uОА, то
wА= wО+ e х rOA + w x uОА.
Здесь
e х rOA = we ОА- вращательное (линейное) ускорение точки А во вращении вокруг полюса О;
w x uОА= ww ОА- центростремительное ускорение точки А во вращении вокруг полюса О.
Поэтому
wА= wО+ we ОА + ww ОА. (8-14)
Поскольку
we ОА + ww ОА = wОА ,
то
wА= wО+ wОА. (8-15)
Используя ранее приведенные формулы, находим модули:
где β- угол между полным ускорением точки А относительно О и направлением (радиусом) ОА.
При ускоренном вращении вращательное ускорение weОА направлено по отношению к полюсу в сторону вращения плоской фигуры, а при замедленном движении- противоположно, т.е. направление we ОА всегда соответствует направлению углового ускорения.
Ускорение точки А плоской фигуры определяется построением многоугольника ускорений. На рис.8.14 построен прямоугольник, определяющий ускорение точки А в ее вращательном движении вокруг полюса О
wОА =we ОА + ww ОА ,
а затем находится ускорение wА как диагонали параллелограмма, сторонами которого служат ускорение полюса wО и ускорение точки во вращательном движении вокруг полюса wОА .
Следствие 1.
Проекция ускорения любой точки плоской фигуры на ось, проведенную из произвольного полюса через эту точку, не может быть больше проекции ускорения полюса на ту же ось.
Ускорение полюса О, точки А плоской фигуры равно
wА= wО+ we ОА + ww ОА.
После геометрического сложения этих векторов замыкающей стороной многоугольника будет wА (рис. 8.15).
Рис. 8.15
Проведем из О через А ось х и спроектируем на нее все эти векторы.
wАх=wОх+we ОАх + ww ОАх.
Поскольку ww ОА направлено то А к полюсу О, то ww ОАх=- ww ОА.
Проекция we ОА на ось х равна нулю, т.к. оно перпендикулярно к оси х, то
wАх=wОх-ww ОА, т.е. wАх£ wОх.
Следствие 2. Концы ускорений точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между этими точками.(рис.8.16)
b= arctg (e/w2)
Рис. 8.16 Рис. 8.17
Приняв А за полюс, запишем
w В= wА+ w АВ.
Построим в точке В ускорение полюса wА. Положим, что отрезок вращается ускоренно против вращения часовой стрелки. Проведем построения (см. рис.8.16).Ускорения точек пропорциональны расстояниям до полюса.
Для определения ускорений точек D, C, E (рис. 8.17), делящих отрезок на 4 равные части, когда известны wА и w АВ, соединяем концы ускорений точек А и В, отложенных в масштабе, отрезком прямой A1B1и делим этот отрезок точками D1 , C1 , E1 на 4 равные части. Соединяя точки D и D1, C и C1, E и E1, получаем ускорения этих точек wD, wС, wЕ. Пользуясь масштабом, находим их модули и по чертежу определяем их направления.
Пример 8.4. Концы бруска АВ длиной l =1 м, движущегося в плоскости чертежа, скользят по горизонтальной и наклонной плоскостям. В мгновение, когда ось бруска образует с горизонталью угол j= 30° скорость В составляет uВ= 50 см/с и ускорение wВ= 20 см/с2, направленные по наклонной вверх (рис. 8.18).
Определить в это мгновение скорость и ускорение конца А, а также угловое ускорение бруска АВ.
а) б)
Рис. 8.18
Решение.
Находим МЦС Р отрезка, восставляя в точках А и В перпендикуляры к направлениям скоростей (рис. 8.18,б).
Из равностороннего треугольника АРВ следует РА= РВ= АВ= 100 см.
Т.к. РА=РВ, то uА= uВ= 50 см/с.
w= uВ/РВ= 0,5 с-1;
Принимаем В за полюс, тогда
wA= wВ+ wwBA+ weBA.
wwBA=w2ВА=25 см/с2.
Для вращательного ускорения weBA точки А во вращении вокруг полюса В известна лишь прямая, перпендикулярная ВА.
Для построения многоугольника ускорений, определяющего wA, можно воспользоваться тем, что прямая, по которой направлено это ускорение wA , известна.
Отложим из точки А ускорение полюса wВ по его направлению; из его конца отложим центростремительное ускорение weBA во вращении точки А вокруг В, направленное параллельно оси стержня ВА от точки А в полюсу В, а из его конца проведем прямую, перпендикулярную к ВА, т.е. параллельную неизвестному вращательному ускорению weBA , до пересечения с прямой, по которой направлено ускорение wA. Для вычисления по многоугольнику ускорения wA, следует спроектировать левую и правую части векторного равенства wA= wВ+ wwBA+ weBA на ось х, проходящую через точки А и В.
Получаем:
wAх= wВх+ wwBAх+ weBAх;
wAcos30°= wB cos30°+ wwBA;
wA31/2/2= 20*31/2/2 + 25
wA =49 cм/с2.
Проектируя эти векторы на ось y, можно определить weBA и затем найти угловое ускорение бруска АВ:
wAy = wBy + wwBAy+ weBAty;
-wAcos60°= wB cos60°- weBA.
Откуда
weBA=( wA+ wB )cos60°= 34,5 см/с2.
но weBA=e ВА. Отсюда
e = weBA/ВА= 0,345 с-2.
Поскольку угловое ускорение направлено в сторону вращения бруска, то он вращается ускоренно.
