Вращательным движением называется такое движение тв. тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения.
Остальные точки движутся в плоскостях перпендикулярных оси вращения и описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения.
При вращении тела угол поворота является функцией времени,
j = f(t). (8-1)
Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота с течением времени называется угловой скоростью тела. Ее размерность [c-1](радиан в секунду). Сейчас этот параметр называют частотой вращения.
Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.
Единица углового ускорения [с-2] радиан на секунду в квадрате.
Уравнение равномерного вращения.
dj/dt= w= const, dj=wdt.
После интегрирования по времени от нуля до некоторого времени получим
= w; j-j0=wt,
т.е.
j=j0+wt. (8-2)
Число оборотов, совершаемых вращающимся телом за единицу времени (обычно за минуту), называется частотой вращения и обозначается буквой n.
Уравнение равнопеременного движения.
dw/dt= e= const, dw=edt.
После интегрирования аналогично выше изложенному получим
w=w0+et. (8-3)
Здесь под w и e, понимаются алгебраические значения соответственно угловой скорости и углового ускорения.
Уравнение (8-3) можно переписать в форме
dj/dt=w0+et.
Откуда
dj =(w0+et)dt.
После интегрирования получим
= w0+e;
j- j0= w0t+ et2/2. (8-4)
Уравнение (8-4) называется уравнением равнопеременного вращения тела.
Модуль окружной скорости точки вращающегося твердого тела
равен
u= |ds/dt|= R| dj/dt|= Rw. (8-5)
Точка вращающегося тела испытывает касательное и нормальное ускорения.
Касательное ускорение часто называют вращательным, оно равно
wt= |du/dt|= R|dw/dt|= Re. (8-6)
Нормальное ускорение направлено к центру и его обычно называют центростремительным. Его модуль равен
wn= u2/R= Rw2. (8-7)
Модуль полного ускорения равен
w=( wn2+ wt 2)1/2= R(e2+ w4)1/2. (8-8)
Направление определяется
tgβ= wt/ wn= e/w2. (8-9)
Пример 8.1.
Вращение маховика в период пуска машины определяется уравнением j=1/3t3.
Определить модуль и направление ускорения точки на радиусе R= 50 cм и мгновение, когда ее скорость равна 8 м/с.
Плоским или плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.
Плоская фигура, образованная сечением тела этой неподвижной плоскостью Q, во все время движения остается в этой плоскости (рис. 8.1).
Рис. 8.1
Рассмотрим движение точек тела, расположенных на одном перпендикуляре к неподвижной плоскости Q. Точка М1 движется в плоскости Q1, а точка М2- в плоскости Q2 ; обе плоскости параллельны неподвижной плоскости Q.
При движении тела отрезок М1М2 остается перпендикулярным к исходной плоскости, т.е. остается параллельным своему начальному положению. Это значит, что все точки этого перпендикуляра аналогично точкам тела, движущегося поступательно, описывают тождественные и параллельные между собой траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.
Т.к. положение плоской фигуры на плоскости вполне определяется положением двух ее точек или положением отрезка, соединяющего две точки, то положение плоской фигуры в ее плоскости можно изучать как движение прямолинейного отрезка в этой плоскости.
Перемещение фигуры можно осуществить совокупностью двух перемещений: поступательного и поворота.
Вариантов перемещений может быть столько, сколько точек плоской фигуры, т.е. бесчисленное множество.
Теорема. Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости этой точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.
(Полюс- произвольная точка плоской фигуры, относительно которой поворачивается фигура)
Выполним построения как на рис. 8.2
Рис.8.2
Т.к. радиус –вектор rOAсоединяет две точки плоской фигуры, то за все время движения он вращается вокруг полюса О с угловой скоростью w , не изменяясь по модулю.
За все время движения относительно О1 сохраняется зависимость
rА=rО+ rOA ,
где модуль rOA = const.
Отсюда
uА= drA/dt= drO/dt+ drOA/dt,
где drO/dt=uО - скорость полюса О.
Поскольку drOA/dt - вращательная скорость точки А вокруг полюса, которую можно представить в виде
drOA/dt= uОА= wх rOA .
Поэтому
uА = uO+ uОА =uO+ w x rOA,(8-10)
Следствие 1. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны.
Пусть известна скорость uАточки А плоской фигуры, направление ее вращения и модуль угловой скорости w фигуры (Рис. 8.3).
Приняв точку А за полюс, определим скорости точек В и D плоской фигуры, лежащих на одной прямой с точкой А:
uВ= uА + uАВ; uD= uА + uАD,
Причем вращательные скорости этих точек вокруг полюса А
uАВ= b1B1, uАD=d1D1 направлены перпендикулярно к отрезкам АВ и AD в сторону вращения фигуры.
Рис. 8.3
Проведем ось х через точки A, D, В и спроектируем скорости этих точек на ось х; тогда
uВX= uАX + uАВX; uDX= uАX + uАDX,
но uАВX =0 и uАDX= 0, т.к. векторы uАВ и uАD перпендикулярны к оси х.
Поэтому
uВX= uАX; Bb= Aa; uDX= uАX ; Dd= Aa
или
Aa = Dd= Bb,
т.е. проекции скоростей всех точек отрезка АВ на ось х, направленную вдоль этого отрезка, равны между собой.
Следствие 2. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками отрезка.
Пример 8.2 По заданной скорости одной точки плоской фигуры построить годограф возможных скоростей другой точки этой фигуры.
Рис.8.4
Решение. Проведем через А и В ось х и найдем проекцию Аа скорости uА на эту ось.
Из следствия 1 проекция скоростей точек А и В на эту ось равны. Отложим по оси х от точки В проекцию Вb,равную по величине проекции Аа и совпадающую с ней по направлению.
В точке b восставим перпендикуляр к оси х. Только на этой прямой и может находиться конец скорости uВ. Эта прямая является годографом возможных скоростей точки В.
8.4. План скоростей.
Зависимость между скоростями точек плоской фигуры (рис.8.5) позволяет определять скорости точек этой фигуры простым и наглядным построением, называемым планом скоростей.
Рис. 8.5
Выполненное построение при известных скоростях точек A,B,C,D называется планом скоростей; отрезки Оа, Ob, Oc, Od называются лучами, а точки a, b, c, d вершинами плана скоростей.
Из треугольника aOb
Ob= Oa+ ab
или
uВ= uА + ab. (а)
По формуле (8-10)
uВ= uА + uАВ(б)
Из сопоставления (а) и (б) устанавливаем, что ab= uАВ ; аналогично
bс= uВC, cd=uCD и т.д.
Следовательно, каждый из отрезков, соединяющих вершины плана скоростей, геометрически равен вращательной скорости соответствующей точки вокруг другой точки как вокруг полюса.
Поэтому
ab= AB*w и ab^AB;
bc= BC*w и bc^ BC;
cd= CD*w и cd^CD
и т.д. Отсюда следует, что многоугольник abcd подобен многоугольнику ABCD и повернут относительно последнего на 90° в сторону вращения движущейся плоской фигуры.
Для построения плана скоростей допустим, что известны модуль и направление скорости точки А (рис. 8.6) и прямая, по которой направлена скорость другой точки В фигуры.
Рис. 8.6
Из произвольной точки О-полюса проведем отрезок Оа= uАи прямую, параллельную прямой, по которой направлена скорость uВ (рис.8.6). Известно, что отрезки, соединяющие вершины плана скоростей, перпендикулярны к отрезкам, соединяющим соответствующие фигуры.
Для определения вершины b проведем из вершины а прямую, перпендикулярную к АВ; точка пересечения ее с прямой, по которой направлена скорость точки В, и является вершиной b , а отрезок Ob определит скорость точки В, т.е. Ob= uВC
Для получения вершины с плана скоростей следует провести из вершин a, b прямые, перпендикулярные к сторонам треугольника АС и ВС. Точка их пересечения и будет вершиной с, а отрезок Ос определит скорость точки с.
Аналогично можно определить скорость любой точки плоской фигуры, соединив ее с двумя точками, скорости которых уже известны.
Откладывая отрезки Оа, Ob и др., следует иметь ввиду, что их модуль равен соответствующей скорости в некотором соотношении. Например,
= w 
; j-j0=wt,
;