Ускорение любой точки плоской фигуры определяется как геометрическая сумма ускорений полюса и ускорения этой точки во вращении вокруг полюса.
В каждое мгновение существует точка плоской фигуры, ускорение которой в это мгновение равно нулю.
Пусть в данное мгновение ускорение некоторой точки О плоской фигуры равно wo, фигура вращается ускоренно в направлении противоположном направлению вращения часовой стрелки, а модули угловой скорости и углового ускорения равны w и e. Определим угол a между woи радиусом- вектором (рис.8.19):
a= arctg(e/w2), (8-18)
где e - модуль вектора e .
Т.к. tga =e/w2>0, то 90° >a>0. Отложим этот угол от ускорения wo по направлению углового ускорения e.
Рис. 8.19
На проведенной полупрямой отложим отрезок
OQ= wo/(e2 +w4)1/2. (8-19)
Приняв О за полюс, запишем
wQ= wO+ wOQ.
Ускорение точки Q во вращательном движении вокруг О состоит из центростремительного ускорения и вращательного, направленного по отношению к полюсу в сторону, соответствующую направлению углового ускорения (рис.8.19):
wOQ= [(weOQ)2+ (wwOQ)2]1/2= OQ(e2 +w4)1/2= wO (e2 +w4)1/2/(e2 +w4)1/2= wO.
При этом tgb= weOQ/wwOQ= OQ*e/(OQ*w2)= e/w2= tga.
Т.к. a и b лежат в пределах 0- 90°, то эти углы равны.
Из этого же следует, что ускорения wOи wOQ равны по модулю, но противонапралены:
wOQ =- wOи wQ=0.
Точка Q, ускорение которой в данное мгновение равно нулю, называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).
Таким образом, установлено, что МЦУ находится на отрезке, составляющим с ускорением полюса wO угол a= arctg(e/w2), который откладывается от ускорения полюса в сторону, соответствующую направлению углового ускорения e , на расстоянии от полюса, равном OQ= wO (e2 +w4)1/2.
Если МЦУ принять за полюс, то ускорение любой точки I плоской фигуры в данное мгновение определится как ускорение этой точки во вращательном движении фигуры вокруг МЦУ.
w I = wOI= QI(e2 +w4)1/2. (8-20)
Модули ускорений точек плоской фигуры в каждое мгновение пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦУ, а векторы ускорений составляют с отрезками, соединяющими эти точки с МЦУ, один и тот же угол a= arctg(e/w2) .
Мгновенный центр скоростей (МЦС) и мгновенный центр ускорений (МЦУ) являются различными точками плоской фигуры.
Случай 1. Известна точка плоской фигуры, ускорение которой в данное мгновение равно нулю. Она и является МЦУ.
Пусть колесо катится по рельсу (рис. 8.20) без скольжения с постоянной с постоянной скоростью uС.
Рис. 8.20
МЦС Р находится в точке соприкасания колеса с рельсом. Поэтому
w= uС/R.
Центр колеса движется равномерно, т.е. wC= 0.
Следовательно, центр колеса является МЦУ.
Из-за равномерного вращения колеса ускорения всех его точек равны центростремительным ускорениям вокруг МЦУ. Так
wA= wB=…wP= Rw2= uС2/R.
Ускорение каждой точки направлено к МЦУ.
Случай 2. Известны модуль и направление ускорения точки А плоской фигуры wA, а также алгебраические значения угловой скоростиw и углового ускорения e .
А) Неравномерное вращение. w¹0; e¹ 0. МЦУ находится на отрезке, составляющем с направлением ускорения wA угол a= arctg(e/w2), который отложен от ускорения точки в сторону e , на расстоянии от точки А равном
AQ= wA/(e2 +w4)1/2. (Рис.8.21)
Рис. 8.21.
Ускорение любой точки можно определить по формуле (8-20).
Угол a всегда откладывается от направления ускорения в сторону вектора углового ускорения.
Б) Равномерное вращение. w¹0; e= 0.
В этом случае
tga.= e/w2 и a.= 0,
т.е. ускорения всех точек направлены к МЦУ. Расстояние от точки до МЦУ равны
AQ= wA/w2. (8-21)
Случай 3. Мгновение, когда w=0; e¹ 0.
В этом случае
tga.= e/w2= ¥и a.= 90°,
т.е. ускорения всех точек направлены перпендикулярно к отрезкам, соединяющим эти точки с МЦУ (рис. 8.22).
Рис. 8.22
Расстояние от точки до МЦУ равно
AQ= wA/e. (8-22)
Угловая скорость фигуры обычно превращается в нуль при изменении направления вращения фигуры.
Случай 4. Мгновение, когда w=0; e=0.
Ускорения всех точек геометрически равны между собой и равны ускорению полюса.
AQ= wA/e= ¥.
Случай 5. Известны модули и направления ускорений 2-х точек плоской фигуры.
Примем А за полюс, тогда
wB= wA+ wAB.
Выполним построения как на рис. 8.23.
При точке В строим параллелограмм ускорений по заданной wB и одной из сторон wA .
Рис.8.23
Ускорение wAB составляет угол a= arctg(e/w2) с отрезком АВ.
Отсчитывая полученный угол a от ускорения wAB к отрезку АВ, получаем направление e , в данном случае противоположное направлению вращения часовой стрелки. Отложим далее этот угол от ускорений точек А и В по направлению e. Две полученные полупрямые продолжим до пересечения в точке Q, которая и будет МЦУ.
Этот способ позволяет определить угол a графически.
Случай 6.
а) ускорения точек параллельны; модули ускорений пропорциональны длинам отрезков, соединяющих точки с МЦУ
wA/ wB= QA/QB;
б) ускорения точек составляют с отрезками, соединяющими точки с МЦУ, один и тот же угол a= arctg(e/w2).
На рис.8.24 выполнено построение для случая 90° >a>0, т.е. w¹0; e¹ 0.
Рис. 8.25 соответствует случаю a=90°,
tga.= e/w2=¥; w = 0, e¹0.
Рис. 8.25
На рис. 8.26 построен МЦУ для
a=0, tga.= e/w2=0; w ¹ 0, e=0.
Если ускорения точек А и В геометрически одинаковы, то МЦУ находится в бесконечности, а ускорения всех точек плоской фигуры геометрически равны.
Пример 8.5. Кривошип ОА вращается вокруг оси О и приводит в движение колесо 2, соединенное с ним в точке А шарнирно (рис.8.26). Колесо катится без скольжения внутри неподвижного колеса 1. r1= 50 см; r2=20 см. Модули угловой скорости и ускорения кривошипа в некоторое мгновение соответственно равны: wОА= 1 с-1; eОA= 0,5 с-2.
Определить ускорения точек М1, М2, М3, М4 колеса 2 в это мгновение.
Решение.
1. uА= wОА(r1- r2)= 1*30=30 cm/c/
wA= weA+ wwA;
weA= eОA(r1- r2)= 0,5*30=15 cm/c2 ;
wwA=w2ОА(r1- r2)= 12*30= 30 cm/c2.
Рис. 8.26
Поскольку МЦС скоростей колеса 2 находится в точке М2 (АР= АМ2), то определяем направление вращения колеса и модуль его угловой скорости
Откладываем в каждой из точек М1, М2, М3, М4 все составляющие ускорений полюса weA+ wwA.(рис.8.27)
Рис. 8.27
Вращательные ускорения точек во вращении вокруг полюса А направляем перпендикулярно к радиусам АМ в сторону углового ускорения e2. Центростремительные ускорения точек во вращении вокруг полюса направляем к полюсу А. Ускорения точек М1, М3, М4 определяем как диагонали прямоугольников
Т.к. в точке М2weAМ=- weA, то сумма этих векторов равна нулю. Откуда
w2= wwA + wwAМ= 30+ 45=75 cm/c2.
8.8. Сложное движение точки.
Сложное движение- это такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в двух или нескольких движениях.
Рассмотрим движущееся тело А и точку М, не принадлежащую этому телу, а совершающую по отношению к нему некоторое движение. Через произвольную точку О движущегося тела проведем связанные с телом оси x, y, z. Систему осей Оxyz называют подвижной системой отсчета.
Неподвижной системой отсчета называют систему осей О1xhz, связанную с некоторым условно неподвижным телом, обычно Землей. Движение точки М относительно неподвижной системы отсчета называют абсолютным движением точки. Соответственно есть абсолютные скорость и ускорение. Их обозначают u, w.
Движение точки М относительно подвижной системы отсчета называют относительным движением точки. Соответственно рассматривают относительные скорость и ускорение. Их обозначают ur, wr.
Движение подвижной системы отсчета и неизменно связанного с ней тела А по отношению к неподвижной системе отсчета является для точки М переносным движением.
Скорость и ускорение точки тела А, связанного с подвижной системой отсчета, совпадающей в данное мгновение с движущейся точкой, называют переносной скоростью и переносным ускорением. Их обозначают ue, we.
Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета определяется радиусом- вектором r, проведенным в точку М из начала этой системы отсчета О1. Изменение r характеризует абсолютное движение точки.
Производная от каждого орта по времени представляет собой линейную скорость точки, для которой этот орт является радиусом- вектором. Но каждый орт вращается вокруг мгновенной оси Wе (рис.8.28) и вращательная скорость его конца определяется векторным произведением
После соответствующих преобразований это выражение можно записать в форме
w=wе+ wr + 2(we x ur). (8-28)
Здесь 2(we x ur) = wс- кориолисово (поворотное) ускорение точки.
Следовательно,
w=wе+ wr + wс. (8-29)
При поступательном движении 2(we x ur) = 0. Поэтому
w=wе+ wr. (8-30)
Кориолисово ускорение характеризует:
1) изменение модуля и направления переносной скорости точки вследствие ее относительного движения;
2) изменение направления относительной скорости точки вследствие вращательного переносного движения.
Чтобы найти направление кориолисова ускорения, следует спроектировать относительную скорость точки на плоскость, перпендикулярную к оси переносного вращения, и повернуть эту проекцию в той же плоскости на 90° в сторону переносного вращения.
Глава 9. Общий случай движения твердого тела.
9.1. Разложение движения свободного тела на поступательное вместе с полюсом и сферическое движение вокруг полюса.
Положение свободного твердого тела в пространстве однозначно определяется положением трех его точек, не лежащих на одной прямой. Соединяя эти точки между собой прямыми, получаем треугольник.
Движение твердого тела в пространстве можно изучить как движение треугольника, определяющего его положение.
Предположим, что треугольник АВС определяет положение некоторого тела. Рассмотрим перемещение треугольника в новое положение А1 В1 С1 .
Осуществим это перемещение как совокупность двух перемещений. Для этого соединим вершину А с ее новым положением А1. Затем проведем отрезки ВВ’, СС’ , равные и параллельные АА1 (рис.9.1).
Рис.9.1.
Соединив между собой прямыми точки А1, В’, С’, получим треугольник А1 В’ С’, стороны которого равны и параллельны сторонам треугольника А В С как противоположные стороны параллелограммов. Треугольник А1 В’ С’ представляет собой новое положение треугольника АВС после его поступательного перемещения вместе с точкой А, принятой за полюс.
Согласно теореме Эйлера- Даламбера для перемещения треугольника из положения А1 В’ С’ в положение А1 В1 С1 произведем поворот треугольника на некоторый угол вокруг оси, проходящей через точку А1, которая не участвует в перемещении.
Т.о. установлено, что всякое перемещение свободного тела из одного положения в другое можно осуществить совокупностью двух перемещений: поступательного и поворота тела вокруг некоторой оси, проходящей через полюс.
Результирующее перемещение не зависит от последовательности выполнения перемещений.
Обозначив координаты полюса О в неподвижной системе осей декартовых координат xO, yO, zO, получим уравнения движения:
xO= f1(t); yO= f2(t); zO= f3(t). (9-1)
Сферическое движение твердого тела можно определить заданием эйлеровых углов, как функций времени:
y= f4(t); q= f5(t); j= f6(t). (9-2)
Здесь y - угол прецессии (лежит в плоскости xOy); q- угол нутации; j - угол собственного вращения.
Поэтому движение свободного тела определяется шестью уравнениями движения (9-1), (9-2) свободного твердого тела.
Следовательно, свободное движение твердого тела имеет шесть степеней свободы.
Вид первых трех уравнений зависит от выбора полюса, а вид остальных трех уравнений не зависит от выбора полюса.
Теорема. Скорость любой точки свободного твердого тела равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее сферическом движении вокруг полюса.
Следствие 1. Проекции скоростей точек свободного твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны.
Следствие 2. Концы скоростей точек свободного твердого тела, расположенные на отрезке прямой, лежат на одной прямой и делят отрезок этой прямой на части, пропорциональные расстояниям между этими точками.
Вектор углового ускорения твердого тела не зависит от выбора полюса.
