Случай 1. wt= 0, wn=0. Ускорение точки равно нулю, и она движется равномерно и прямолинейно.
Случай 2. wt= 0, wn¹0. В процессе движения модуль скорости не изменяется, а меняется лишь направление. Точка движется криволинейно
wn =u2/r.
Если wt= 0 в отдельные мгновения времени, то точка не движется равномерно, а в это мгновение модуль ее скорости имеет максимум, минимум или наименьшую быстроту монотонного изменения.
Случай 3. wt¹ 0, wn=0. В этом случае направление скорости не меняется, а изменяется ее модуль, т.е. точка движется по прямой нервномерно
w= wt= |d2s/dt2|.
При этом, если направления векторов скорости и ускорения совпадают, то движение точки ускоренное, если направления скорости и ускорения противоположны, то движение замедленное.
Если же wn =u2/r = 0 в некоторые мгновения, то точка не движется прямолинейно, а проходит точку перегиба траектории (рис. 7.17,б)
а) б)
Рис. 7.17
или модуль ее скорости обращается в нуль (например, при изменении направления движения точки u=0).
Случай 4. wt¹ 0, wn¹0. В этом случае точка совершает криволинейное неравномерное движение. Модуль ускорения равен w= (wt2+ wn2)1/2.
Если направления векторов скорости и касательного ускорения совпадают, то движение ускоренное, а если противоположное, то- замедленное.
Если модуль касательного ускорения постоянен, то модуль скорости точки изменяется пропорционально времени и точка совершает равнопеременное движение. При этом формула скорости равнопеременного движения записывается в виде
= 0+ wt t. (7-35)
Уравнение равнопеременного движения точки записывается в форме
s = s0+ 0t + wt t2/2 .
Пример 7.5.(задание естественным способом).
Уравнение движения математического маятника имеет вид
s= 5 sin (7t),
где размерности [s]= см ; [t]= сек. Длина нити маятника l= 20 см.
Определить закон изменения полного ускорения шарика, а также скорость и ускорение в среднем и крайнем положениях (рис.7.18).
Рис.7.18
Решение.
1. Определяем моменты времени, соответствующие крайним и среднему положениям шарика.
Крайним положениям шарика М1, М2 соответствуют наибольшие значения дуговой координаты |smax|= 5 см.
Для М1 получим s= 5 cm- sin(7t)= 1, т.е. 7t=2kp +p/2, k – целое число.
Наименьшее t , соответствующее М1 имеется при k = 0;
7t=p/2; t1 =p/(2*7)=0,225 с.
Для М3 примем s= -5 cm- sin(7t)= -1, т.е. 7t=2kp +3p/2.
Наименьшее t , соответствующее М3 имеется при k = 0;
7t=3p/2; t1 =3p/(2*7)=0,625 с.
В среднем положении s=0; sin(7t)= 0; 7t= kp. В этом положении точка находится при t =0. Момент прохождения шариком среднего положения t2 , следующий за начальным, будет k= 1, т.е. 7t2= p
или
t2= p/7= 0,45с.
Следующий момент времени t4 будет при k =2, т.е.
7t4= 2p; t4= 2p/7= 0,9 с.
Проследим движение точки в промежутке времени [0;0,9]с. При t =0 точка находится в начале отсчета 0; при t = 0,225с она занимает положение М1; при t = 0,45 с – положение М2(0); при t = 0,675с- положение М3, при t =0,9 с – положение М4. Затем этот цикл повторяется, т.е. точка совершает периодическое колебательное движение с периодом Т= 0,9 с.
Модуль и направление скорости равны
= ds/dt= 35 cos(7t) [cm/c].
В крайних положениях имеем
sin(7t1,3)=±1; cos(7t1,3)= 0; 1,3 = 0.
В среднем положении О имеем 7t2= p; 7t2= 2p.
При 7t2= p
cos(p)= -1; ; 2 = - 35 см/с, т.е. здесь точка движется в сторону отрицательных координат.
При 7t2= 2p
cos(2p)= 1; ; 2 = 35 см/с, т.е. точка движется в положительном направлении (вправо).
Пример 7.6. (задание движения координатным способом)
Составить уравнение движения ползуна В кривошипного механизма на рис.7.19,а, если известно, что кривошип ОА длиной r вращается равномерно, т.е. j= wt, а длина шатуна АВ= l. Определить также скорость и ускорение ползуна.
Рис. 7.19
Решение. Составим уравнение движения.
Разместим оси координат, как показано на см. рис. 7.19.
x= OK+ KB,
OK=OA cosj= r cosj; KB= AB cosβ= l cosβ.
x= r cosj+ l cosβ.
Из треугольника ОАВ следует
r/l=sin β/sinj; sin β= (r/l)*sinj;
Пусть r/l=l:
sin β= l*sinj; cos β=[1-sin2β]1/2=(1- l2sin2j)1/2.
Применим к выражению cos β=(1- l2sin2j)1/2 формулу бинома Ньютона:
cos β= 1- (1/2) l2sin2j+ [(1/2)(-1/2)/(1*2)] l4sin4j+ …
Отбрасывая третье и последующие слагаемые как малые величины высших порядков (l=1,5: (1/8) l4=1/5000), приближенно получаем
cos β= 1- (1/2) l2sin2j= 1-(1/2)l2(1- cos2j)/2=
= 1-l2/4+l2/4cos2j.
Подставим это в х
x= r(cosj+ l/4 cos2j)+l- lr/4
или
x= r(coswt + l/4 cos2wt)+l- lr/4.
По этому уравнению можно для заданного t вычислить x и найти положение ползуна.
Определим скорость ползуна.
uх=dx/dt= -rw[sinwt+ (l/2)sin(2wt)].
Откуда для j=wt =p/2 – t= p/(2w)
uх= -rw[sin(p/2)+ (l/2)sin(p)]=-rw .
Вектор скорости направлен противоположно оси х.
Определим ускорение ползуна.
wx= du/dt= - rw2[coswt+ lcos(2wt)].
При j=wt =p/2 – t= p/(2w)
wx= - rw2[cos(p/2)+ lcos(p)]= r2w/l
Т.к. wx= r2w/l>0, то w= wx= r2w/l.
Направление вектора ускорения совпадает с направлением оси х. Направления скорости и ускорения противоположны; в данный момент времени ползун движется замедленно.
= 
t= d2s/dt2= - 245 sin(7t) см/с2.