Проведем в точке М кривой АВ соприкасающуюся плоскость, нормальную плоскость, перпендикулярную к касательной, и спрямляющую плоскость, перпендикулярную соприкасающейся и нормальной плоскостям, образующую с этими плоскостями естественный трехгранник (рис.7.14).
Рис. 7.14 Рис. 7.15
Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей называется главной нормалью кривой.
Линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей называется бинормалью кривой.
Естественными координатными осями называются три взаимно перпендикулярные оси: касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты, главная нормаль и бинормаль.
Единичные векторы-орты этих осей обозначаются соответственно t, n, b.
Естественные координатные оси имеют начало в точке М кривой и при движении этой точки по данной кривой перемещаются вместе с ней, оставаясь взаимно перпендикулярными, но изменяя свое направление в пространстве.
Возьмем на кривой АВ две точки М и М1, соответствующие дуговым координатам ОМ= s, OM1= s+ Ds (рис.7.15). Нанесение ортов касательных в точках М и М1 показывает, что орт t является переменным вектором.
Определим его приращение на участке ММ1= Ds . Отложим от точки М орт t1=t и построим параллелограмм. Здесь другая сторона будет приращением Dt орта.
Определим вектор Кср= Dt/Ds, характеризующий поворот касательной к кривой на участке ММ1 и называемый вектором средней кривизны кривой на участке ММ1. Этот вектор направлен в сторону вогнутости кривой и имеет направление вектора Dt.
Предел К, к которому стремится Кср , когда Ds стремится к нулю, называется вектором кривизны кривой в данной точке.
Орт касательной к кривой является вектором- функцией дуговой координаты s , т.к. его направление зависит от положения точки на кривой, т.е. t= t(s). Тогда
К= dt/ds. (7-26)
Т.е., вектор кривизны кривой в данной точке равен производной от орта касательной к кривой по дуговой координате.
Для определения модуля этого вектора рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный t, t1, Dt (рис. 7.15).
Угол e между направлениями касательных называется углом смежности. При малом расстоянии между М и М1 он мал.
Модуль |Dt| найдем как длину основания равнобедренного треугольника, у которого |t| = 1
|Dt|= 2t sin(e/2)» 2*1*e/2= e.
|K|= K= = .
Из дифференциальной геометрии известно, что
K= = 1/r, (7-27)
где r - радиус кривизны кривой в точке М.
Вектор средней кривизны находится в плоскости треугольника из сторон t, t1, Dt, предельным положением которого является соприкасающаяся плоскость. Следовательно, вектор кривизны К расположен в этой же плоскости (рис. 7.15). При этом 2β = 180°- e. Когда М стремится к М1, то = 90°.
Т.к. вектор кривизны К расположен в соприкасающейся плоскости и перпендикулярен орту t, то он направлен по главной нормали к центру кривизны кривой. Его также представить в виде
K= n*1/r. (7-28)
7.9. Определение ускорения точки при задании движения естественным способом.
Т.к. проекция u= t ds/dt может отличаться от модуля скорости только знаком, то ( ds/dt)2= u2.
Учитывая изложенное, получим
w= nu2/r+ t d2s/dt2. (7-29)
Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один направлен по главной нормали (нормальное ускорение), другой направлен по касательной (касательное ускорение точки (рис. 7.16)
w= wn+ wt, (7-30)
Рис. 7.16
где нормальное ускорение точки
wn= nu2/r, (7-31)
касательное ускорение
wt=t d2s/dt2= t du/dt. (7-32)
Скалярные множители u2/r , d2s/dt2= du/dt в выражениях (7-31), (7-32), представляют собой проекции ускорения точки на главную нормаль и касательную.
Проекция ускорения на бинормаль равна нулю, т.к. вектор ускорения расположен в соприкасающейся плоскости.
Проекция ускорения точки на главную нормаль, равная u2/r, всегда положительна. Поэтому нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории и равно по модулю этой проекции.
Проекция ускорения точки на касательную, равная d2s/dt2= du/dt, имеет знак плюс, если направления касательного ускорения точки wt и орта t совпадают, и знак минус, если они противоположны.
Если проекции скорости и касательного ускорения на касательную имеют одинаковые знаки, то и направления этих векторов совпадают, т.е. точка движется ускоренно.
Если же эти проекции имеют различные знаки, то точка движется замедленно.
При прямолинейном движении радиус кривизны равен бесконечности, поэтому wn =u2/r = 0.
Нормальное ускорение существует лишь при криволинейном движении.
Касательное ускорение wt точки существует лишь при неравномерном движении точки и характеризует изменение модуля скорости.
где знак плюс после вычисления дроби соответствует ускоренному движению, а минус- замедленному.
Нормальное ускорение может быть также определено из выражения
wn = (w2- wt2)1/2.
Радиус кривизны равен r= u2/ wn.
Пример 7.4. По условию примера 7.2 определить ускорение точки в мгновения t= 6 c.; 12c.
Решение.
Поскольку R=150 cm, u
u= 6+ 0,25t2,
a u6= 15; u12= 42 cm/c,
то
wt= |du/dt|= 0,25*2*t,
wn= u2/R,
w= (wt2+ wn2)1/2.
Для заданных мгновений получим:
wt6= 0,25*2*6= 3см/с2 ,
wn6= 152/150= 1,5 см/с2:
w6 =(32+ 1,52)1/2= 3,35 см/с2;
wt12= 0,25*2*12= 6см/с2 ,
wn6= 422/150= 11,76 см/с2:
w6 =(62+ 11,762)1/2= 13,2 см/с2.
Т.к. du/dt>0 при всех значениях времени, то точка движется ускоренно и направление касательного ускорения во всех точках совпадает с направлением скорости .
Нормальное ускорение направлено к центру окружности.
= 
.
= 90°.