Определение ускорения точки при задании ее движения координатным способом. Проекции ускорения.

Пусть заданы уравнения движения точки (рис.7.11):

x= f₁(t); y= f₂(t); z= f₃(t).

Радиус-вектор r движущейся точки М представим в виде

r= ix+ jy+ kz.

Т.к. ускорение точки равно второй производной от радиуса- вектора по времени, то имеем

w= d²r/dt²= id²x/dt²+jd²y/dt²+ kd²z/dt².

Разлагаем ускорение по составляющим осям координат

w = iw_x + jw_y + kw_z.

Из сопоставления обеих формул получаем

w_x = d²x/dt²; w_y = d²y/dt²; w_z = d²z/dt². (7-21)

Можно также записать

w_x = du_x /dt²; w_y = du_y /dt; w_z = du_z /dt. (7-22)

Модуль и направление соответственно равны

w= (w_x²+ w_y²+w_z²)^1/2;

cos(w,i)= w_x/w; cos(w,j)= w_y/w; cos(w,k)= w_z/w. (7-23)

При движении по плоскости будет

x= f₁(t); y= f₂(t);

w= (w_x²+ w_y²)^1/2;

cos(w,i)= w_x/w; cos(w,j)= w_y/w. (7-24)

В случае прямолинейного движения-

x= f(t);

w= |w_x|. (7-25)

При w>0 ускорение направлено в сторону оси х, а при отрицательном значении – противоположно.

Пример 7.3. Определить ускорения точки М линейки эллипсографа АВ, рассмотренного в примере 7.1, в мгновения нахождения точки М на осях координат.

Рис.7.13

Решение.

Запишем уравнения движения точки М:

x= a cos(wt); y= b sin(wt).

Траекторией является эллипс

x²/a²+ y²/b²=1 (рис.7.12)

Модуль и направление к центру О ускорения точки М равны:

w_x= d²x/dt²= - w²a cos(wt)=- w²x;

w_y= d²y/dt²= - w²b sin(wt)=- w²y;

w= w² (x²+y²)^1/2;

cos(w,i)= w_x/w= - w²x/[w² (x²+ y²)]^1/2=- x/ (x²+ y²)^1/2= -cos(α);

cos(w,j)= w_y/w = - w²y/[w² (x²+ y²)]^1/2=- y/ (x²+ y²)^1/2= -cos(β).

Из этих результатов видно, что модуль ускорения пропорционален расстоянию ОМ= (x²+y²)^1/2, а направление составляет с осями координат углы 180°- α и 180°-β, т.е. вектор ускорения направлен к началу координат.

В положениях М₁, М₂, М₃, М₄ имеем: w₁=w²a; w₂=w²b; w₃=w²a; w₄=w²b.