Способом. Вектор ускорения.

При неравномерном криволинейном движении точки изменяются модуль и направление ее скорости. Ускорение характеризует быстроту изменения модуля и направления скорости точки.

Допустим, что в момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость u , а в момент времени

Рис.7.10

а) б)

t₁= t+ Dt она занимает положение М₁ и имеет скоростьu₁ (рис.7.10).

Найдем приращение вектора скорости за промежуток времени Dt .

Отложим от точки М скорость u₁ и построим при этой точке параллелограмм (см. рис.7.10,а). Тогда векторно сложив, получим

u₁ =u+ Du .

Разделив приращение вектора Du на промежуток времени Dt , получим вектор среднего ускорения точки за этот промежуток

w_ср=Du/Dt.

Этот вектор имеет направление Du и, следовательно, направлен в сторону вогнутости кривой.

Построив годограф скорости CD (рис. 7.10,б), отложим там же скорости u и u₁, приращение вектора скорости Du , а также вектор среднего ускорения w_ср , направленный по хорде NN₁ годографа скорости.

Предел, к которому стремится вектор w_ср , когда Dt стремится к нулю, является вектором ускорения точки в данный момент времени t:

w= .

Учитывая, что скорость является вектором- функцией от времени и что u= dr/dt, имеем

w= du/dt= d²r/dt². (7-20)

Следовательно, вектор ускорения точки равен первой производной от скорости или второй производной от радиуса- вектора точки по времени.

Вектор среднего ускорения w_ср направлен по хорде NN₁ годографа скорости. Когда Dt стремится к нулю, точка N₁ стремится к точке N и секущая NN₁ в пределе превращается в касательную к годографу скорости. Из этого следует, что вектор ускорения точки имеет направление касательной к годографу скорости.

Если траектория скорости не является плоской кривой, то вектор w_ср находится в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в точке М₁ (рис. 7.10,а). Предельное положение этой плоскости при стремлении точки М₁ к точке М называется соприкасающейся плоскостью.

Из этого следует, что вектор ускорения w точки расположен в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Если кривая плоская, то соприкасающейся плоскостью является плоскость кривой, и вектор ускорения лежит в этой плоскости.

Далее вместо «вектора ускорения» будем говорить «ускорение».