Определение скорости точки при задании ее движения координатным способом.

Пусть заданы уравнения движения точки в декартовых координатах

x= f₁(t); y= f₂(t); z= f₃(t).(рис.7.9)

Рис. 7.9

Обозначим орты осей координат i, j, k. Проведем из начала координат О в движущуюся точку М радиус- вектор r. Согласно рис. 7.9

ОМ= ОА + АВ+ ВМ или r= ix+ jy + kz.

Найдем скорость точки, равную производной

u= dr/dt= idx/dt+ jdy/dt+ kdz/dt,

учитывая, что орты i, j, k имеют неизменные модули и направления, и поэтому могут быть вынесены за знак производной.

Построив прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны осям координат, а диагональ совпадает со скоростью u , получим проекции скорости u на оси координат u_х, u_y , u_z , равные алгебраическим величинам отрезков Ма, Mb, Mc.

Тогда разложение скорости на компоненты по осям координат примет вид

u= iu_x + ju_y + ku_z .

Сопоставляя обе формулы, определяющие скорость, находим

u_x= dx/dt; u_y= dy/dt; u_z= dz/dt. (7-17)

Т.о. проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Зная проекции скорости на оси декартовых координат, можно определить модуль и направление скорости точки:

u= (u_x²+ u_y²+u_z²)^1/2;

cos(u,i)= u_x/u; cos(u,j)= u_y/u; cos(u,k)= u_z/u. (7-18)

На плоскости движение точки задается двумя уравнениями:

x= f₁(t); y= f₂(t);

u= (u_x²+ u_y²)^1/2; cos(u,i)= u_x/u; cos(u,j)= u_y/u. (7-19)

Прямолинейное движение задается одним уравнением:

x= f₁(t); u= |u_x| .

При u_x>0 точка движется по направлению оси х, а при u_x<0 - противоположно направлению оси.