Скорость- это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.
При векторном способе задания движения положение движущейся точки в каждый момент времени определяется радиусом- вектором r, который является функцией времени r=r(t). Пусть в момент времени t точка занимает положение М, определяемой радиусом- вектором r , а в момент времени t1= t+ Dt- положение М1, определяемое радиусом –вектором r1(рис.7.5).
Рис. 7.6.
Из треугольника ОММ1 следует
ОМ1= ОМ+ ММ1.
При перемещении точки ее радиус- вектор получает приращение
r1 = r + Dr.
Из двух последних равенств следует, что вектор перемещения ММ1 точки является приращением радиуса- вектора Dr точки за промежуток времени Dt .
Отношение вектора- перемещения Dr к промежутку времени Dt, в течение которого произошло это перемещение, представляет собой вектор средней скорости uсрвоображаемого движения точки по хорде ММ1
uср= Dr/ Dt. (7-9)
Направление вектора uсрсовпадает с направлением Dr. При стремлении промежутка Dt к нулю получаем предел
u = . (7-10)
Т.к. Dt – приращение скалярного аргумента t , а Dr – приращение вектора- функции r , то предел их отношений при Dt ® 0 является векторной производной от r по t :
= dr/ dt. (7-11)
Из равенств (7-10), (7-11) следует
u = dr/ dt. (7-12)
Т.о., вектор скорости точки в данный момент времени равен производной от радиуса- вектора точки по времени.
Поскольку предельным положением секущей ММ1 является касательная, то вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
Пусть движение точки задано естественным способом, т.е. известны ее траектория и уравнение движения s= f(t) (рис.7.7)
Рис. 7.7 Рис.7.8
Пусть в момент времени t точка занимает положение М, а в момент времени t1= t+ Dt – положение М1. Дуговые координаты этих точек:
s = OM; s1= OM1= OM+ MM1= s+ Ds.
Приращение дуговой координаты Ds= ÈММ1.
Проведем из произвольного центра О’ в точку М радиус- вектор r и определим скорость точки в момент t по формуле (7-12).
Введем в качестве промежуточной переменной дуговую координату s, от которой зависит радиус- вектор r движущейся точки. Поскольку каждому значению s соответствует определенное значение r , то r можно рассматривать не только как функцию t, но и как функцию s, полагая r = r (s). Тогда
u = (dr/ ds)(ds/dt).
Здесь dr/ds.
Вектор dr/ds направлен также, как вектор Dr. При Ds®0 его направление стремится к направлению касательной, проведенной из точки М в сторону увеличения дуговой координаты s . Модуль этого вектора стремится к единице
/ÈММ1= 1.
Т.о., вектор dr/ds имеет модуль, равный единице, и направлен по касательной к кривой в сторону увеличения дуговой координаты. Вектор dr/ds является ортом этого направления (рис. 7.8), и обозначается как
t= dr/ds. (7-13)
Пользуясь этой формулой, получим вектор скорости
u = t ds/dt. (7-14)
Производная ds/dt представляет собой проекцию скорости u на касательную, т.е. определяет алгебраическую величину скорости :
= ds/dt. (7-15)
Тогда модуль скорости равен
u=| |= | ds/dt |. (7-16)
Орт касательной всегда направлен в сторону увеличения дуговой координаты.
Если ds/dt>0, то функция s возрастает и направление скорости совпадает с направлением орта.
Если ds/dt<0, то функция убывает, и направление скорости противоположно направлению орта t .
При перемене знака производной ds/dt функция s достигает максимума или минимума, т.е. изменяется направление движения точки.
Пример 7.2. Точка движется по окружности радиусом R= 150 см согласно уравнению
S= 50+ 6t+(1/12)t3.
[s]= см ; [t]= сек.
Определить: 1) среднюю скорость за первые 6 сек от начала отсчета времени; 2) скорость точки в конце 6-й и 12-й сек; 3) дуговую координату точки, при которой u= 10 см/сек.
. (7-10)
.
/ÈММ1= 1.
: