Уравнение движения точки в декартовых координатах.

Положение точки М в системе отсчета Oxyz определяется тремя декартовыми координатами точки x,y,z (рис. 7.2).

Рис. 7.2 Рис. 7.3

При движении точки М ее координаты изменяются с течением времени:

x= f₁(t); y= f₂(t); z= f₃(t). (7-4)

Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Они определяют движение точки.

В одной плоскости движение точки определяется двумя уравнениями

x= f₁(t); y= f₂(t). (7-5)

Прямолинейное движение точки определяется одним уравнением

x= f₁(t). (7-6)

В этом случае задание совпадает с естественным.

Уравнения движения, определяющие координаты точки в любой момент времени, можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. При исключении времени из уравнения движения получаются уравнения траектории точки в координатной форме.

Пусть уравнения движения имеют вид:

x= f₁(t); y= f₂(t); z= f₃(t).

Решив первое относительно t , получим t= j (х).

Подставим полученное в два других уравнения

y= f₂[j (x)]; z= f₃[j (x)]. (7-7)

Как известно из аналитической геометрии, линии в пространстве соответствуют два уравнения с тремя координатами.

Пусть движение точки в плоскости задано уравнениями

x= f₁(t); y= f₂(t).

Исключив t , получим уравнение траектории точки в координатной форме

y= f₂[j (x)]. (7-8)

Кроме декартовых координат применяют также полярные, цилиндрические, сферические и другие системы координат

Пример 7.1 Концы линейки АВ движутся по двум взаимно- перпендикулярным прямым L’L и N’N, причем угол ОВА= j, изменяется пропорционально времени, т.е. j= wt.(рис.7.3)

Составить уравнение движения точки М. Причем АМ= а, ВМ= b и определить ее траекторию.

Рис. 7.4 Рис. 7.5

Решение. Нанесем систему координат. Из точки М опустим перпендикуляры на оси координат

Из треугольников AMD, MBE получим

x= DM= AM cosj; y=EM=BM sin j .

Подставим АМ= а, ВМ= b, j= wt

x= а cos(wt); y= b sin(wt).

Исключаем время:

x/a= cos(wt); y/b=sin(wt);

(x/a)² = cos²(wt); (y/b)² =sin²(wt);

(x/a)² + (y/b)²=1

Это уравнение траектории движения точки М является уравнением эллипса с центром в начале координат и полуосями a и b.