Центр тяжести твердого тела, плоской фигуры.

Из-за большого радиуса Земли силы тяжести можно считать параллельными. Равнодействующая таких сил, равная их сумме, есть вес тела, а центр этой системы сил- центр тяжести тела.

Центр тяжести занимает определенное положение, не зависящее от расположения тела в пространстве.

Обозначим силы притяжения отдельных элементарных частиц тела к Земле DG₁, DG_2,….DG_n, вес тела G₁ , координаты его центра x_C, y_C, z_C, а координаты любой частицы твердого тела – x_i, y_i, z_i (рис.6.3).

Рис. 6.3

Координаты центра тяжести твердого тела можно определить как координаты центра параллельных сил. Для центра тяжести формулы (6-2) примут вид

x_c= (åx_iDG_i )/G; y_c= (åy_iDG_i )/G; z_c= (åz_iDG_i )/G. (6-3)

Здесь суммирование распространяется на все частицы твердого тела; значения DG_i положительны, т.к. направлены в одну сторону.

По формулам (6-3) можно также вычислять координаты центра тяжести тела, разбивая его не на элементарные частицы, а на отдельные части веса с известными координатами каждой.

Так для однородного тела объемом V и удельным весом g получим

x_c= åx_iDG_i /G= åx_ig V_i/(g V)=åx_i V_i/ V;

y_c= åy_iDG_i /G= åy_ig V_i/(g V)=åy_i V_i/ V; (6-4)

z_c= åz_iDG_i /G= åz_ig V_i/(g V)=åz_i V_i/ V.

Для плоской фигуры, которую можно рассматривать как тонкую пластину толщиной w, можно записать G= wf, где f - площадь фигуры; w - вес единицы площади. Поэтому формулы (6-4) преобразуются

x_c= åx_iDG_i /G= åx_iwD f _i/(wf )=åx_i D f _i/ f;

y_c=åy_i D f _i/ f. (6-5)

Здесь суммирования распространены на все элементы площади, поэтому формулы (6-5) можно представить в виде

x_c= /f; y_c= /f. (6-6)

Сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав площади фигуры, на алгебраические значения их расстояний до некоторой оси, называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно этой оси.

На основании (6-5) статические момент площади относительно оси х равен

S_x= åy_iDf_i= y_C f, (6-7)

а относительно оси y-

S_y= åx_iDf_i= x_C f. (6-8)

Т.о. статический момент площади относительно оси равен произведению алгебраического значения координаты центра тяжести на площадь фигуры.

Очевидно, что зная площадь и статический момент можно определить координаты центра тяжести фигуры. При этом статический момент плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр тяжести равен нулю.