Согласно принципу освобождаемости от связей, несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, находящееся под действием задаваемых сил и реакций связей.
Для системы произвольно расположенных взаимно уравновешивающихся задаваемых сил и реакций связей, приложенных к несвободному твердому телу, можно составить шесть уравнений равновесия (5-17). Из этих уравнений определяются реакции опор и устанавливаются условия, которым удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к твердому телу, находящемуся в покое. Т.к. оси координат могут иметь любые направления, то их следует проводить так, чтобы они пересекали возможно большее число неизвестных сил или были к ним перпендикулярны, т.е. чтобы каждое из уравнений равновесия содержало возможное меньшее число неизвестных величин.
Твердое тело с одной закрепленной точкой.
Пусть на твердое тело с неподвижно закрепленной точкой А действует система сил Р1, Р2,… Рn,(рис.5.20). Заменим действие связи в точке А (сферического шарнира) реакцией RA, направление которой неизвестно. Проведем оси координат x, y, z из точки А и разложим эту реакцию на три составляющие XA, YA, ZA , направленные по осям координат.
Рис. 5.20.
Для случая уравновешивания всех сил составим уравнения равновесия
=0;
=0;
=0 ;
åXi=0; åXi +XA=0; åYi=0; åYi +YA= 0;
åZi=0; åZi + ZA= 0.
Здесь ; суммы проекций задаваемых сил, приложенных к твердому телу на оси x,y,z; - суммы моментов задаваемых сил относительно тех же осей.
Первые 3 уравнения, не содержащие реакций опор, выражают те условия, которым удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к твердому телу с одной закрепленной точкой, если оно находится в покое.
Они формулируются так: если твердое тело с одной закрепленной точкой находится в покое, то сумма моментов всех сил, приложенных к твердому телу задаваемых сил относительно трех координатных осей, проведенных через закрепленную точку, равны нулю.
Из этих 3-х условий следует, что главный момент МА системы задаваемых сил относительно закрепленной точки равен нулю, т.е. система сил приводится к равнодействующей R , линия действия которой проходит через точку А.
Из 3-х уравнений проекций сил определяются величины составляющих реакций связи:
XA=- ; YA=- ; ZA=.
Откуда
RА= (XA2+YA2+ ZA2)1/2;
cos (RA, i)=XA/RA; cos (RA, j)=YA/RA; cos (RA, k)=ZA/RA.
Реакция связи RА уравновешивает равнодействующую задаваемых сил R, т.е. этим силы равны по модулю и противоположно направлены:
RА= -R.
Твердое тело с двумя закрепленными точками .
Рассмотрим твердое тело с двумя неподвижно закрепленными точками А и В (рис.5.21).
Рис. 5.21
Допустим, что на тело действует система задаваемых сил Р1, Р2, …Рn.
Расстояние между А и В обозначим l. Заменим действие связей в точках А и В реакциями RA, RB, направления которых неизвестны. Начало координат поместим в А, одну из осей проведем через В.
Разложим каждую из реакций RA, RB на три составляющие по осям координат и составим шесть уравнений равновесия, действующих на твердое тело
åMix=0 ; +ZB*l =0;
åMiy=0;=0;
åMiz=0 ; - XB*l= 0 ;
åXi=0; åXi +XA+XB=0; åYi=0; åYi +YA+YB= 0;
åZi=0; åZi + ZA+ ZB= 0.
ЗдесьåXi ,åYi, åZi–суммы проекций задаваемых сил, приложенных к твердому телу на оси x,y,z; ; ; - суммы моментов задаваемых сил относительно тех же осей.
Из шести составленных уравнений только одно =0 не содержит реакций опор и выражает то условие, которому удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к твердому телу с двумя закрепленными точками, если оно находится в покое.
Это условие формулируется так: если твердое тело с двумя закрепленными точками находится в покое, то сумма моментов всех приложенных к твердому телу задаваемых сил относительно оси, проходящей через точки закрепления, равна нулю.
Остальные пять уравнений используются для определения составляющих реакций связей:
XB = (1/ l) ; XA =-(1/ l) - ;
ZB =- (1/ l) ; ZA= ZB=- (1/ l) -;
YA+ YB= - .
Последнее уравнение показывает, что величины составляющих реакций YA ,YB вдоль оси, проходящей через точки закрепления, определить невозможно. Поэтому для YA+ YB в рассматриваемом случае статически неопределима.
Если допустить, что точка А закреплена неподвижно, а в точке В имеется подшипник с осевым люфтом, тогда продольная реакция YB=0, а YA= -. При этом условии задача становится статически определенной.
Пример 5.7 Дверь ABDEвесом G = 240Нудерживается открытой на угол FBD=120°двумя веревками DFKиEL, протянутой перпендикулярно двери(см. рис. 5.22). АВ= 2м; АЕ= 0,8 м. Определить реакции подпятника А, подшипника В и натяжение веревки EL .
Рис.5.22 Рис. 5.23
Проведем оси координат и нанесем силы и реакции, как показано на рис. 5.23, приняв, что подшипник В схематически представляет собой кольцо, сквозь которое проходит ось, скрепленная с дверью. Следовательно, подшипник не препятствует осевому перемещению двери.
Составим шесть уравнений равновесия.
1. åMiz=0; T1a sin 30°- T2a= 0, т.е..Т2= Т1sin 30= 30 H.
2. åMix=0; -YBh- T1 hcos 30+ Ga(cos60°)/2= 0.
Откуда YB=- T1cos30+ Ga(cos60)/(2h)=- 28 H.
3. åMiy=0; XBh- T1( cos60)h+ Ga(cos30)/2=0.
XB= T1cos60- Ga(cos30)/(2h)= - 11,6H.
4. åXi= 0; XA+ XB- T1cos60- T2cos60= 0,
. XA=- XB+ T1cos60+ T2cos60= 56,6 H.
5. åYi= 0; YA+YB+ T1cos30 – T2cos30=0,
YA= -YB- T1cos30+ T2cos30= 2 H.
6. åZi= 0;ZA-G=0; ZA=G=240 H.
Пример 5.8. На коленчатый вал (рис. 5.24, 5.25) действуют силы Р= 12 кН, действующая в середину шейки вала и направленное в плоскости, перпендикулярной оси вала под углом 15° к горизонтали; G= 12 кН- вес маховика. D= 80 см. Отношение натяжений ведущей и ведомой ветвей шкива
Т1/Т2= 2. r= 15 см.
Определить натяжение ветвей и реакции подшипников А и В, пренебрегая весом вала и шкива.
Рис.5.24 Рис. 5.25
Решение. При равномерном вращении вала силы должны удовлетворять условиям равновесия.
Выбираем оси координат, прикладываем к валу задаваемые силы и реакции (рис. 5.24)
=0; 
=0; 
=0 ;
; 
суммы проекций задаваемых сил, приложенных к твердому телу на оси x,y,z; 
- суммы моментов задаваемых сил относительно тех же осей.
; YA=- 
; ZA= 
.
; 
+ZB*l =0;
; 
;