Если главный вектор системы сил R* и ее главный момент Мо относительно центра приведения О не равны нулю и не перпендикулярны между собой, т.е. R*¹0; Mo¹0 и Мо не⊥R*, то заданную систему сил можно привести или к двум скрещивающимся силам или к силовому винту (динаме).
Сначала рассмотрим случай приведения к 2-м скрещивающимся силам.
Пусть после приведения системы сил к некоторому центру О получена сила R*, равная главному вектору, приложенная в этом центре, и пара сил, момент которой М= Мо не перпендикулярен R*.
Проведем плоскость II, перпендикулярную к моменту пары сил М, и выбрав плечо пары d расположим в этой плоскости
Рис.5.16
пару сил Q, Q’ (Q= Q’= M/d), эквивалентную системе присоединенных пар. Приложим одну из сил пары Q’ в точке О, а другую Q - на конце отрезка ОК (см. рис. 5.16). Сложив приложенные в точке О силы R*, Q, получим новую силу Р, которая вместе с силой Q, приложенной в точке К, представляет собой совокупность 2-х скрещивающихся сил.
Приведение к силовому винту.
Допустим, что в результате приведения к силовому винту заданной системы сил к центру О получена в этом центре новая сила R* и пара сил, момент которой М, равный главному моменту сил Мо, не перпендикулярен R* (рис. 5.17).
Рис. 5.17 Рис. 5.18
Известно, что пару сил можно заменить двумя парами. Для этого разложим момент пары сил М на два составляющих момента: М*, направленный по R*, и М’, направленный перпендикулярно к R*:
М= М*+ М’. (5-19)
Изобразим в плоскости I пару сил, имеющую момент М’ . Силы этой пары возьмем равными по модулю R* и одну из сил пары R’ приложим в точке О и направим противоположно главному вектору. Плечо этой пары
d= M’/R*. (5-20)
Отложим плечо d= ОС в плоскости I от точки О по направлению, перпендикулярному векторам R* и М’ в такую сторону, чтобы, смотря навстречу вектору момента пары М’, видеть пару сил, стремящуюся вращать плоскость I против вращения часовой стрелки.
Две силы R* и R’, приложенные в точке О, взаимно уравновешиваются. Остается сила R* , приложенная в точке С и пара сил с моментом М*, параллельным R*, который как свободный вектор переносим из точки O в точку С.
Прямая CL, вдоль которой направлены R* и М’, называется центральной осью системы сил.
Совокупность силы R* и пары сил Р, Р’ с моментом М* , расположенной в плоскости, перпендикулярной линии действия этой силы, называют силовым винтом, или динамой (рис. 5.18).
Полученную совокупность силы R* в точке С и пары сил с моментом М можно рассматривать, как результат приведения заданной системы сил к центру С, лежащему на центральной оси. Следовательно, момент пары сил М* равен главному моменту МС заданной системы сил относительно точки С, лежащей на центральной оси. Совокупность силы R* и момента пары М* можно перенести в любую точку центральной оси, т.к. эта ось является линией действия силы R* , а момент пары М* является свободным вектором.
Отсюда следует, что главные моменты системы сил относительно всех точек центральной оси равныМ*.
Рассмотрим изменение главного момента Мо системы сил относительно произвольной точки О при изменении положения этой точки относительно центральной оси.
Согласно формуле (5-19) имеем
М=Мо = М*+ М’.
где М’= R*d.
Модуль главного момента определится
Мо= (М*2+ М’2)1/2= (М*2+ R*2d2)1/2 , (5-21)
где d - расстояние от точки О до центральной оси.
Направление Мо определяется углом
cos(Mo,R*)=M*/Mo= M*/(М*2+ R*2d2)1/2 . (5-22)
Очевидно, что cos(Mo,R*)>0 при М*>0, тогда∠(Mo,R*)< 90 и направление М* совпадает с направлением R* (рис.5.17).
Если cos <0, то М*<0 и тогда угол >90°, т.е. направления М* и R* противоположны. В формулах (5-21), (5-22) переменной величиной является только расстояние d.
Эти формулы показывают, что при увеличении этого расстояния модуль главного момента Мо увеличивается, а рассматриваемый угол приближается к прямому.
Для любой точки С, лежащей на центральной оси, d =0, а поэтому
cos(Mo,R*)= ±1 и МС= /М*/= Ммин,
т.е. ∠(Mo,R*)= 0 или p .
Следовательно, главный момент рассматриваемой системы относительно любой точки центральной оси направлен вдоль этой оси в ту или другую сторону и имеет наименьший для этой системы сил модуль, равный /М*/.
Т.о., центральная ось системы сил представляет собой геометрическое место точек пространства, относительно которых главные моменты заданной системы сил имеют наименьший модуль Ммин= /М*/ и направлен вдоль этой оси.
Наименьший главный момент системы сил М* равен проекции главного момента рассматриваемой системы сил Мо на направление главного вектора R*
M*= Mo cos(Mo,R*). (5-23)
Умножим обе части равенства (5-23) на R*
R*М*= R*Мо cos(Mo,R*). (5-24)
Правая часть (5-24) представляет собой величину скалярного произведения R*иМо:
R*Мо cos(Mo,R*)= R*Мо, (5-25)
через проекции на координатные оси равное
R*М*= XMx+ YMy+ZMz.
Откуда
M*= (XMx+ YMy+ZMz)/R*. (5-26)
Эта формула выражает алгебраическое значение наименьшего главного момента М* через проекции R* и Мо на координатные оси.
Если R* ¹ 0, а Мо =0, а также если R* ¹ 0, а Мо ¹ 0 и Мо⊥R*, то заданную систему сил можно привести к равнодействующей. При этом выполняются условия:
X2+ Y2+ Z2 ¹ 0; XMx+ YMy+ZMz= 0. (5-27)
Соотношения (5-27) являются аналитическими условиями приведения системы сил к равнодействующей.
Пример 5.6. Привести к простейшему виду систему сил на рис.5.19
