Уравнения равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве.

Случаю такого равновесия сил соответствуют два условия равновесия

М= Мо= 0, R*= 0.

Модули главного момента Мо и главного вектора R* рассматриваемой системы определяются по формулам

Mo= (M_x ²+ M_y ²+ +M_z ²)^1/2; R*= (X²+ Y²+Z²)^1/2.

Они раны нулю только при следующих условиях:

M_x= 0, M_y =0, M_z= 0, X=0, Y=0, Z=0,

которым соответствуют шесть основных уравнений равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве

=0; =0;

=0; (5-17)

=0 ; =0.

Три уравнения системы (5-17) слева называются уравнениями моментов сил относительно осей координат, а три справа- уравнениями проекций сил на оси.

При помощи этих формул уравнение моментов можно представить в виде

å (y_iZ_i - z_iY_i)=0; å( z_iХ_i- x_iZ_i)=0 ; å( x_iY_i- y_iX_i)=0 . (5-18)

где x_i, y_i, z_i - координаты точек приложения силы Р; Y_i , Z_i, X_i- проекции этой силы на оси координат, могущие иметь любые направления.

Существуют и другие системы шести уравнений равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве.

Приведение системы сил к равнодействующей силе.

Если главный вектор системы сил R* не равен нулю, а главный момент Мо или равен нулю, или направлен перпендикулярно к главному вектору, то заданная система сил приводится к равнодействующей силе.

Возможны 2 случая.

1-й случай.

Пусть R*¹0; Mo= 0. В этом случае силы приводят к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения О, а сила R* заменяет собой заданную систему сил, т.е. является ее равнодействующей.

2-й случай.

R*¹0; Mo¹0 и Мо ⊥R*. (рис.5.15).

После приведения системы сил к центру О получена сила R*, приложенная в этом центре и равная главному вектору сил, и пара сил, момент которой М равен главному моменту Мо всех сил относительно центра приведения, причем Мо ⊥R*.

I

I

Рис.5.15

Выберем силы этой пары R’ и R равными по модулю главному вектору R*, т.е. R= R’ = R*.Тогда плечо этой пары следует взять равным ОК= = М_О/R* .Проведем через точку О плоскость I, перпендикулярную к моменту пары сил М. Пара сил R’ , R должна находиться в этой плоскости. Расположим эту пару так, чтобы одна из сил пары R’ была приложена в точке О и направлена противоположно силе R* . Восставим в плоскости I в точке О перпендикуляр к линии действия силы R*, и в точке К на расстоянии ОК= М_О/R* от точки О приложим вторую силу пары R .

Отрезок ОК откладываем в такую сторону от точки О, чтобы, смотря навстречу вектору момента М, видеть пару стремящуюся вращать свою плоскость против движения часовой стрелки. Тогда силы R* и R’, приложенные в точке О, уравновесятся, а сила R пары, приложенная в точке К, заменит собой заданную систему сил, т.е. будет ее равнодействующей. Прямая, совпадающая с линией действия этой силы, является линией действия равнодействующей силы. Рис. 5.15 показывает различие между равнодействующей силой R и силой R*, полученной при приведении сил к центру О.

Равнодействующая R системы сил, приложенная в точке К, имеющая определенную линию действия, эквивалентна заданной системе сил, т.е. заменяет собой эту систему.

Сила же R* в точке О заменяет заданную систему сил только в совокупности с парой сил с моментом М= Мо.

Силу R* можно приложить в любой точке тела, к которой приведены силы. От положения точки зависит только модуль и направление главного момента Мо.

Теорема Вариньона. Момент равнодействующей относительно любой точки равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно этой точки, а момент равнодействующей силы относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов, составляющих сил относительно этой оси[3].