Рычаг. Устойчивость при опрокидывании. Коэффициент устойчивости.

Рычагом называется твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения и находящееся под действием сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной к этой оси.

Положим, что к рычагу в точках А₁, А₂,… А_n приложены задаваемые силы Р₁, Р₂,… Р_n, лежащие в плоскости чертежа, ось рычага пересекает эту плоскость в точке О, которую называют опорной точкой (рис.5.7)

О

Рис.5.7

Реакция R_O оси рычага, уравновешивая задаваемые силы, лежит в их плоскости, но направление ее неизвестно.

Разложим эту реакцию на две составляющие X_O,Y_O и составим три уравнения равновесия сил, действующих на рычаг:

= 0; X_O+ = 0; (5-6)

= 0; Y_O+ = 0; (5-7)

= 0; = 0. (5-8)

Здесь и - суммы проекций задаваемых сил, приложенные к рычагу на оси x, y; X_O и Y_O – проекции реакции оси рычага на оси; - сумма моментов задаваемых сил относительно опорной точки.

Уравнение (5-8), не содержащее реакции оси рычага, выражает условие, которому удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к рычагу, если он находится в покое.

Это условие формулируется так: если рычаг находится в покое, то алгебраическая сумма моментов всех задаваемых сил, приложенных к рычагу, относительно опорной точки равна нулю:

= 0. (5-9)

Из уравнений (5-6), (5-7) равновесия определяется модуль и направление реакции оси рычага. Из условия (5-9), которое выполняется, если рычаг находится в покое, получим условие устойчивости тел при опрокидывании.

Положим, что к прямоугольному параллелепипеду (рис. 5.8) весом G на высоте d приложена горизонтальная сила P, которая может не только сдвинуть тело, но и опрокинуть его вокруг ребра А.

Рис. 5.8

Считая, что сила Р недостаточно велика для сдвига тела, рассмотрим ее опрокидывающее действие. Обозначим а расстояние от точки А, изображающей на чертеже ось вращения рычага, до линии действия силы G, которая препятствует опрокидыванию.

Составим сумму моментов задаваемых сил Р и G относительно опорной точки А:

= 0; Ga- Pd= 0. Откуда Ga= Pd.

Абсолютные величины моментов сил Р и G относительно точки А называются удерживающими и опрокидывающими моментами:

Ga= М_уд ; Pd= М_опр .

Тогда на границе устойчивости М_уд = М_опр .

При устойчивом состоянии тела М_уд > М_опр .

Устойчивость при опрокидывании оценивают коэффициентом устойчивости

k= М_уд / М_опр .(5-10)

Пример 5.4. Определить вес противовеса G₁, обеспечивающий k=1,5, если вес крана G₂= 50 кН, вес груза G₃= 40 кН. Размеры указаны на рис. 5.9

Рис. 5.9

Решение. Предполагаемое опрокидывание крана от веса груза G₃ является вращением вокруг оси О, совпадающей с правым рельсом. Препятствуют опрокидыванию вес крана G₂ и противовес G₁.

М_опр= G₃*1,25= 50 кНм.

М_уд= G₁*2+ G₂*0,75= 2G₁+ 37,5 кНм.

Т.к. М_уд=k М_опр , то 2G₁+ 37,5=1,5*50.

Откуда G₁= 18,75 кН.