Сложение пар сил. Условия равновесия пар сил.

Теорема: Геометрическая сумма моментов составляющих пар равна моменту эквивалентной им пары.

Пусть требуется сложить две пары сил, расположенных в пересекающихся плоскостях I и II , имеющие моменты М₁ и М₂ (рис.3.8).

Выбрав силы этих пар равными по модулю Р₁= Р₂= Р₃= Р₄= Р, определим плечи этих пар d₁= M₁/P; d₂= M₂/P.

Рис. 4.8

Расположим рассматриваемые пары таким образом, чтобы силы Р₁, Р₂ были направлены по линии пересечения плоскостей KL в противоположные стороны и уравновешивались. Оставшиеся силы Р₂, Р₄ образуют пару сил, эквивалентную данным двум парам. Эта пара сил имеет плечо BC= d и момент, перпендикулярный к плоскости действия пары сил, равный по модулю M= Pd, т.к. момент пары- свободный вектор, перенесем М’ и М в В.

Док-во.

1. Треугольники BAC, BDF подобны, т.к.

M₁= Pd₁; M₂= Pd₂

M₁/M₂= d₁/d₂, т.е. BD/DF= BA/АC

и ∠BDF= ∠BAC как углы со взаимно перпендикулярным сторонами.

Из подобия этих треугольников следует, что

BF/BD= BC/BA, т.е. BF/M₁= d/d₁.

Откуда BF= M₁(d₁/d₂)= Pd₁(d/d₁)= Pd.

2. Т.к. вектор момента каждой пары сил перпендикулярен к плоскости действия этой пары, то

M₁⊥P₂ и M₂⊥P₂ ,

а поэтому плоскость параллелограмма BDFE перпендикулярна к силе пары Р₂ и BF ⊥ P₂ .

Кроме того, ∠DBA= 90° и ∠СBA= ∠FBD.

Откуда ∠CBF= 90°, т.е. BF⊥ BC.

Поскольку диагональ параллелограмма BF перпендикулярна к силе пары Р₂ и к плечу пары сил ВС, то она перпендикулярна к плоскости действия эквивалентной пары сил.

3. Из рис. 4.8 видно, что если смотреть навстречу вектору BF, то можно видеть пару Р₂, Р₄, стремящуюся вращать плоскость ее действия в сторону, обратную вращению часовой стрелки.

Из изложенного следует, что вектор BF= М, т.е. геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной им пары сил М₁+ М₂= М.

Установленное правило сложения моментов пар сил называется правилом параллелограмма моментов. Построение параллелограмма моментов можно заменить построением треугольника моментов.

Применяя построение параллелограмма или треугольника моментов, можно решать и обратную задачу, т.е. разложить любую пару сил на две составляющие.

Пусть требуется сложить несколько пар сил, расположенных произвольно в пространстве (рис. 4.9)

Рис. 4.9

Определив моменты этих пар согласно 4.3 их можно перенести в любую точку О пространства, Складывая последовательно моменты этих пар сил, можно построить многоугольник моментов пар, замыкающая сторона которого определить момент эквивалентной им пары сил.

На рис. 4.9 показано построение подобного многоугольника при сложении трех пар сил.

Момент пары сил, эквивалентной данной системе пар сил в пространстве, равен геометрической сумме моментов составляющих пар сил

М= . (4-4)

Главный момент сил, составляющих пару, относительно произвольной точки на плоскости ее действия, также как и главный момент сил пары точки в пространстве, является величиной, не зависящей от выбора этой точки.

Плоскость I действия этой пары сил перпендикулярна к направлению ее момента М. Если момент эквивалентной пары сил равен нулю, то пары сил взаимно уравновешиваются:

М= = 0. (4-5)

Т.о., условие равновесия пар сил, произвольно расположенных в пространстве, можно сформулировать так:

Пары сил, произвольно расположенные в пространстве, взаимно уравновешиваются в том случае, если геометрическая сумма их моментов равна нулю.

Если пары сил расположены в одной плоскости, то моменты этих пар, направленные по одной прямой, складываются алгебраически,

М= , (4-6)

где M_i= ±P_id_i.

Условие равновесия:

М= =0, (4-7)

Т.е. пары сил, расположенные в одной плоскости взаимно уравновешиваются.

Примеры.

4.1 Вес груза на барабане радиусом r= 10 см составляет G= 500 Н.

Барабан удерживается парой сил, приложенных к рукоятке длиной l= 1,25 м. (рис. 3.10).

определить реакцию оси О и силы пары Р, Р’.

Рис. 4.10

Решение.

Из условия равновесия сил

Ro= G= 500 Н.

Из условия равновесия пар сил

= 0, -Pl+ Gr= 0, где l- плечо пары Р, Р’; r - плечо пары G,R_o .

Откуда P= Gr/l= 500*0,1/1,25= 40 Н.

4.2 Схема действия сил приведена на рис. 4.11.

Дано: М₁= 8кНм, М₂= 10 кНм, М₃= 7кНм; α= 30°. Определить реакции опор.

Рис. 4.11

Из равновесия моментов –М₁+ М₂- М₃+ R_Bh= 0,

где плечо между реакциями опор равно h= AB*cos α, следует

R_B= (M₁-M₂+ M₃)/(AB*cos30°= 3^-1/2= 0,58 кН.

R_B= R_А.

Знак плюс указывает на правильный выбор направлений реакций.