Теорема об условии эквивалентности пар сил, лежащих в одной плоскости.

Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их моменты численно равны и одинаковы по знаку.

Док-во. Пусть заданы две пары сил P, P’ с плечом АВ= d₁ и Q, Q’- c плечом CD= d₂, расположенные в одной плоскости и имеющие численно равные и одинаковые по знаку моменты (рис. 4.7)

Рис. 4.7

Т.к. M₁= Рd₁, M₂= Qd₂ и M₁= M₂, то Рd₁= Qd₂ или Р/Q= d₂/d₁. (a)

Продолжим линии действия сил заданных пар до их пересечения в точках E,J и перенесем силы P, P’ в эти точки.

Проведем диагональ EJ параллелограмма EKJO и разложим каждую из этих сил на составляющие, направленные по диагонали EJ и линиям действия сил пары Q, Q’. Тогда P= F+ S, P’= F’+ S’.

Т.к. Ea= P, Ja= P’, а соответствующие стороны треугольника aEd и a’Jd’ параллельны, то эти треугольники равны.

Отсюда следует, что Ed= Jd’, т.е. S= S’.

Силы S, S’ направлены по диагонали параллелограмма EJ в противоположные стороны, а поэтому S= -S’, т.е. они взаимно уравновешиваются.

Исключив из полученной системы сил F, S, F’, S’ взаимно уравновешивающиеся силы S, S’, получим пару F, F’ с плечом NK= SD= d₂ , эквивалентную паре P, P’ с плечом LK=AB= d₁.

Из подобия треугольников Ead и EKJ следует Ea/ad= EK//KJ,

а из подобия треугольников KEN, KJL – NK/KL=EK/KJ.

Приравнивая левые части равенств с одинаковыми правыми частями получаем

Ea/ad=NK/KL или P/F= d₂/d₁. (б)

Сопоставляя (а) и (б), устанавливаем, что силы пары F, F’ равны по модулю силам заданной пары Q, Q’,т.е. пара F, F’ представляет собой пару Q, Q’, силы которой из точек C и D перенесены по их линиям действий в точки E,J.

Таким образом, пару P, P’ можно заменить парой Q, Q’, имеющей момент такой же величины и такого же знака, как момент пары P, P’. Поскольку при доказательстве произведены преобразования, указанные в аксиомах 2,3,4, то полученная пара Q, Q’ , эквивалентна заданной паре Q, Q’ .

Так как положение пары Q, Q’ произвольно, то из доказанной теоремы следует, что пару сил, не изменяя ее действия на твердое тело, можно переносить в любое место в плоскости ее действия, поворачивать ее плечо на любой угол, а также изменять это плечо и модули сил, не изменяя величины ее момента и направления вращения.

Основной характеристикой пары сил является ее момент.