Проекция силы на оси декартовых координат.

Взяв правую систему неподвижных декартовых координат x, y, z, разложим силу Р по правилу параллелепипеда на 3 составляющие силы Р_х, Р_z, Р_y,направленным параллельно этим силам (рис.2.8)

Рис. 2.8 Рис.2.9

Силы Р_х, Р_z, Р_y называются компонентами силы по осям x, y, z.

Алгебраические значения длин направленных отрезков Aa, Ab, Ac называются проекциями силы на оси.

Обозначив i, j, k – единичные векторы, направленные по осям x, y, z, а проекции силы на эти оси, получим

P= iX+ jY+ kZ. (2-1)

Равенство (2-1) представляет форму разложения силы на составляющие по осям координат.

Проекция силы на каждую координатную ось определяется произведением модуля силы на косинус угла между направлениями оси и илы

X= P cos(P, i); Y= Pcos(P,j); Z=Pcos(P,k), (2-2)

где (P, i), (P,j), (P,k) - углы между направлением силы Р и направлениями осей x, y, z.

Если известны проекции силы на 3 взаимно перпендикулярные оси x, y, z, то модуль и направление силы определяются по следующим формулам

P= (X²+ Y²+ Z²)^1/2, (2-3)

cos(P, i)= X/P; cos(P,j)= Y/P; cos(P,k)= Z/p. (2-4)

Если рассматриваются силы, лежащие в одной плоскости, то взяв две взаимно перпендикулярные оси x, y в этой плоскости, каждую силу Р можно разложить на 2 составляющие Р_х, Р_y, направленные параллельно этим силам (рис.2.9).

В этом случае Р= Р_х+ Р_y илиP= iX+ jY.

Модуль и направление силы равны

P= (X²+ Y²)^1/2; cos(P, i)= X/P; cos(P,j)= Y/P .

В формуле (2-2) X= P cos(P, i) угол (P, i), как известно представляет собой угол α на рис.2.10.

Рис. 2.10.

Знак проекции определяют по чертежу.

2.4. Аналитический способ определения равнодействующей системы

сходящихся сил. Уравнения равновесия сил.

Равнодействующая сходящихся сил P₁, P₂, … P_n, (рис.2.11) равна геометрической сумме этих сил:

P = ,

где i= 1,2…n.

Рис.2.11

Проекция равнодействующей на каждую координатную ось равна

Х= ; Y= ; Z= , (2-5)

где X_i= P_icos(P_i, i); Y_i= P_icos(P_i, j); Z_i= P_icos(P_i, k).

Модуль и направление равнодействующей равны

R=

cos (R,i)= X/R; cos (R,j)= Y/R; cos (R,k)= Z/R.

Если силы взаимно уравновешиваются, то их равнодействующая равна нулю. Т.к. R= X=0, Y=0, Z=0.

Таким образом, для сходящихся сил в пространстве имеем

= 0; = 0; = 0. (2-6)

При помощи уравнений (2-6) можно решать задачи на равновесие сходящихся сил, если число неизвестных величин в задаче не превышает 3-х. Такой метод называется аналитическим.

Для сходящихся сил в одной плоскости получаем

= 0; = 0. (2-7)

При решении этих уравнений можно решить задачу на равновесие сходящихся сил на плоскости, если число неизвестных величин равно 2.

Пример 2.4. Решить пример 2.2 аналитическим способом (при помощи уравнений равновесия (2-7).

Рис. 2.12

На рис. 2.12 покажем все силы (известные и неизвестные) приложенные к узлам. Полагая все стержни растянутыми, направим их реакции S₁ и S₂ от узла. Ответ с минусом означает сжатие.

Проведем через А оси координат. Составим суммы проекций всех сил, приложенных к D

= 0; Т₁cos 45°- T₂cos 30°= 0; = 0; T₁cos45°- T₂cos60°-G= 0.

После вычитания уравнений получим

- T₂cos 30°+ T₂cos60°+ G= 0.

Откуда T₂= G/(cos30°- cos60°)= 1414 Н.

Из 1-го уравнения следует T₁= T₂cos30°/cos45°=1732 Н.

Составим уравнение равновесия сил, приложенных к А, учитывая, что T’₂= T₂.

= 0; -S₂cos 60°+ T’₂cos 30° = 0; = 0; -S₂cos 30°- S₁+ T’₂cos60° =0.

Откуда

S₂= T’₂cos30°/cos60°= 2449Н; S₁= -S₂cos30°+ T’₂cos60°= - 1414 Н.

Т.е. подкос АС растянут, а столб- сжат.