Теорема Штурма

Определение 2.7Последовательность многочленов назовём последовательностью многочленов Штурма, если она удовлетворяет следующим условиям:

I. Любые два соседних многочлена не имеют общих корней

II. Если a – корень при i>0, то

III. Последний многочлен не имеет вещественных корней.

IV. Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то

Для последовательности многочленов F и числа a определим w(a) – число перемен знака в числовой последовательности (нули игнорируем).

Теорема 2.21 Штурма

Число различных корней многочлена на отрезке равно .

Доказательство. Пусть корни многочленов из ряда Штурма F, принадлежащие отрезку и упорядоченные в порядке возрастания. Поскольку, многочлен может изменить знак только при прохождении через корень, то для любых точек из интервала число перемен знака заведомо одно и тоже. Если корень многочлена (i>0) то последовательность при достаточно малом по модулю значению y даёт только одну перемену знака, т.к. по условию II на концах стоят числа разных знаков. Следовательно, число перемен знака может измениться только при прохождении через корень многочлена . По условию IV, число перемен знака может только уменьшаться.

Пусть многочлен f(x) не имеет кратных корней. Построим последовательность многочленов: , , и далее, - остаток от деления на умноженный на -1.

Данная последовательность многочленов будет последовательностью многочленов Штурма. Действительно, условие IV выполнено по свойству производной. Наибольший общий делитель многочлена и его производной равен 1, т.к. нет кратных корней. Таким образом, последний многочлен в ряду равен константе и не имеет вещественных корней. Из равенства вытекает условие II. Подставив x=a, где a – корень , получим . Общего корня у соседних многочленов не может быть, так как его наличие приводит к существованию кратных корней у .