Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

Пусть f(x) – произвольный многочлен. Под разностью первого порядка будем понимать . Индукцией определим разность порядка k .

Свойство 1

.

Доказательство проведём индукцией по порядку разности. При k=1 имеем . Основание индукции положено. Пусть утверждение верно для всех разностей порядка k-1. Покажем его справедливость для всех разностей порядка k. По определению . Подставим вместо разностей k-1 порядка их выражения, получим После приведения подобных в правой части равенства получим требуемое утверждение.

Свойство 2

Разность не зависит от порядка, в котором расположены ее аргументы

Доказательство вытекает из свойства 1.

Свойство 3

Если степень многочлена f(x) равна n, то разность порядка k есть многочлен степени n-k при n k и 0 при n<k.

Доказательство проведём индукцией по k. При k=1 имеем . Числителем дроби является многочлен , причём . Следовательно, по теореме Безу многочлен делится без остатка на двучлен . Тем самым основание индукции доказано. Пусть утверждение верно для разностей порядка k-1. Покажем его справедливость для разностей порядка k. По определению разности порядка k имеем . По предположению индукции числитель этой дроби многочлен степени n-k+1. Кроме того (свойство 2) и по теореме Безу многочлен делится без остатка на двучлен . Свойство доказано.

Свойство 4

f(x)=f(a₁)+(x-a₁)f(a₁,a₂)+…+(x-a₁)…(x-a_k-1)f(a₁,….a_k)+ +(x-a₁)…(x-a_k)f(x,a₁,….a_k)

Доказательство. Из определения разности порядка k выразим разность меньшего порядка . Продолжив этот процесс получим искомую формулу.