Пусть требуется построить многочлен, который в точках a1,…,an (n>1) принимает значения y1,…,yn. Положим w(x)=(x-a1)…(x-an) и 
. Легко убедится в справедливости равенств wi(aj)=0 при 
и wi(ai)=1. Следовательно, многочлен f(x)=y1w1(x)+…+ynwn(x) принимает в точках a1,…,an значения y1,…,yn.
Теорема 2.9 (Интерполяционный многочлен Лагранжа)
Существует единственный интерполяционный многочлен степени не превосходящий n-1, который принимает в точках a1,…,an значения y1,…,yn..
Доказательство. Существование доказано выше. Покажем единственность. Допустим, кроме f(x) существует ещё интерполяционный многочлен h(x) степени не выше n-1. Разность многочленов f(x)-h(x) равна 0 в точках y1,…,yn., значит, по теореме Безу, она делится на w(x). Так как степень w(x) равна n, то f(x)-h(x)=0.
