Многочлен называется неприводимым над числовым полем, если он не делится на многочлены меньшей степени (исключая константы)
Теорема 2.7 Пусть многочлен f(x) неприводим. Тогда
I. Из 
вытекает, либо 
, либо 
.
II. Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
Доказательство.
Докажем первое утверждение. Если , то утверждение верно. Пусть 
не делится на 
, тогда 
и найдутся многочлены 
и 
, что 
. Умножим полученное равенство на 
: 
. В левой части равенства все слагаемые делятся на , следовательно, .
Второе утверждение следует непосредственно из определения неприводимого многочлена.
Теорема 2.8 Многочлен над числовым полем единственным образом раскладывается в произведение неприводимых многочленов, с точностью до перестановки сомножителей и числовых множителей.
Доказательство проведём индукцией по числу сомножителей. Если многочлен имеет один сомножитель, то он неприводим, и теорема верна. Пусть теорема верна для любого многочлена, разлагающегося на не более n-1 сомножителей. Допустим, найдётся многочлен, имеющий как минимум два разложения на неприводимые множители 
( 
). Поскольку произведение 
делится на 
, то найдётся номер i, что 
делится на . Переставим сомножители так, чтобы i=s. Многочлены и 
отличаются числовым множителем 
. Следовательно, 
. По предположению индукции s-1=n-1 и сомножители отличаются только порядком и числовыми коэффициентами. Теорема доказана.
