Рассмотрим бином (a+b)n. Если раскрыть скобки, привести подобные, то получившиеся сумма состоит из слагаемых вида aibn-i с некоторыми числовыми коэффициентами. Например: (a+b)2=a2b0+2ab+a0b2. В общем случае можно записать 
, где 
- числовой коэффициент. Из тождества (a+b)n=(a+b)(a+b)n-1 выводим равенства 
и 
, которые позволяют строить треугольник Паскаля. Приведём первые его 4 строки 
. Число, расположенное в треугольнике Паскаля на пересечении строки n и столбца m, равно
· 1, если m=0, или m=n,
· сумме элементов предыдущей строки, расположенных в столбцах m и m-1, если 
.
Таким образом, элементы треугольника Паскаля суть биномиальные коэффициенты. В частности 
.
Обозначим через 
произведение натуральных чисел от 1 до n. Для удобства обозначений положим 
.
Теорема 1.1 Биномиальный коэффициент вычисляется по формуле 
.
Доказательство проводится индукцией по n. При n=1 утверждение очевидно. Пусть оно верно при n-1. Покажем его справедливость для n. Если m=0, то 
. Если m=n, то 
. Если , то 
. По предположению индукции 
. Теорема доказана.
