ПЕРВАЯ ПОЗИЦИОННАЯ ЗАДАЧА

Под позиционными задачами будем понимать задачи по определению общих элементов геометрических фигур. К ним относятся задачи на принадлежность и задачи на пересечение геометрических фигур.

Первая позиционная задача ( на принадлежность) - задача на построение проекций: точек на линии или поверхности, линий на поверхности, линий и поверхностей, проходящих через заданные точки и линии.

В этом разделе будут рассмотрены методы решения задач на примере прямых линий и плоскостей. Параллельные прямые будем рассматривать как пересекающиеся в бесконечно удаленной (несобственной точке).

Прямая, параллельная плоскости, пересекает ее в бесконечно удаленной (несобственной) точки. Параллельные плоскости пересекаются по несобственной (бесконечно-удаленной) прямой.

1.4.1 Точка на отрезке прямой. Деление отрезка в заданном отношении

В пространстве точка и прямая относительно друг друга могут занимать два положения: точка лежит на прямой и точка не лежит на прямой.

Если точка С лежит на прямой АВ, то, на основании свойства проекций при параллельном проецировании, её проекции лежат на одноимённых проекциях этой прямой и на одной линии связи.

При рассмотрении свойств параллельного проецирования установлено, что отношение отрезков прямой равно отношению их проекций. Для того чтобы разделить отрезок прямой в заданном отношении, достаточно разделить в том же отношении проекции отрезка.

Пусть требуется отрезок АВ разделить точкой С в заданном отношении АС : СВ = 2:1. Обратимся к ортогональному чертежу отрезка АВ.

Например, из первой проекции В1 точки В проведём вспомогательную прямую под произвольным углом. На этой прямой отложим 3 равных отрезка любой длины. Соединим точку А1 и точку 3. Через точку 1 проведём прямую || А13. При пересечении этой прямой с отрезком А1В1 получим искомую точку С1, которая делит первую проекцию отрезка АВ в заданном отношении: А1С1 : С1В1 = 2:1. Так как по свойству проекций точки С1 и С2 должны лежать на одной линии связи, то теперь для того чтобы найти вторую проекцию С2 точки С достаточно провести линию связи и найти точку её пересечения с отрезком А2В2. Отметим точку С2, которая удовлетворяет условию А2С2 : С2В2 = 2:1.

Итак, мы построили на ортогональном чертеже отрезок АВ и отметили точку С, которая делит отрезок АВ в заданном отношении АС : СВ = 2:1.

1.4.2 Прямая и точка в плоскости

В пространстве прямая может либо принадлежать плоскости, либо не принадлежать плоскости. Это утверждение справедливо и для точки. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит:

1. Через две точки, принадлежащие плоскости;

2. Через точку плоскости параллельно любой прямой этой плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой (кривой), лежащей в данной плоскости.

1.4.3. Прямые общего положения в плоскости

Пусть нам дан ортогональный чертёж плоскости a - общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми а и b. Чтобы построить прямую, принадлежащую данной плоскости, необходимо выполнить одно из вышеперечисленных условий. На прямых a и b возьмём две точки А и В и проведём прямую f через эти точки. Прямая f принадлежит плоскости a, т. к. она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости.

Если мы отметим на прямой f точки С и D, то они так же будут принадлежать плоскости a, т. к. они принадлежат прямой, лежащей в данной плоскости.

1.4.4. Прямая, параллельная плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости.

Рассмотрим пример. Пусть нам дана плоскость a заданная треугольником АВС и произвольная точка D. Требуется через точку D провести прямую DE параллельную плоскости a. Для того чтобы через точку D провести прямую параллельную плоскости a (АВС), достаточно построить прямую проходящую через точку D и параллельную любой прямой, принадлежащей плоскости a. Например, проведём прямую DE || AC, на чертеже D1E1 || А1С1 и D2E2 || А2С2. Прямая DE || a (АВС), т. к. она параллельна прямой АС, принадлежащей плоскости a.

1.4.5 Параллельные плоскости