Решение

1. Определение опорных реакции.

Рисунок 24 – Оси и опорные реакции

Опорные реакции определяются из уравнений равновесия

∑М_с (F)= 0.

F∙0,5l+ m-(q∙ l²/2) +Rв∙ l= 0

Rв = =38,5 кН

∑М_в (F)= 0.

F∙1,5l - R_сl + m+(ql)∙0,5l = 0

R_с= =76,5 кН.

∑F_z = 0. H_c=0, т.к. горизонтальные составляющие активных сил отсутствуют.

Правильных найденных значении реакций проверяется с помощью дополнительного уравнения равновесия: ∑ F_y = 0.

∑ F_y = -F + R_c – q l + R_в = - 15+76,5 - 20∙5 + 38,5 =115 – 115 = 0

Реакции найдены верно.

2.Построение эпюр Q_y и M_x.

Эпюры Q_y и M_x – это графики изменения поперечной силы и изгибающего момента по длине балки.

Величина Q_y и M_x определяются методом сечений, а именно: на каждом из участков (границами которых являются места приложения внешних сил и моментов, начало и конец распределенной нагрузки, рисунок 13) мысленно проводится сечение и одна из двух частей балки, например, левая, отбрасывается (рисунок 14).

Действие отброшенной части на оставшуюся заменяется неизвестными поперечной силой и изгибающим моментом, взятыми со знаком «+» (т.е.

Q_y изображается сдвигающей правое сечение вниз, а M_x – сжимающим верхние волокна)

Из уравнений равновесия для отсеченной части (рисунок 14) определяется

Q_y и M_x в данном поперечном сечении. Если полученные величины отрицательны, то истинные направления Q_y и M_x противоположны предполагаемым направлением.

При составлении уравнения равновесия для моментов в качестве полюса К следует выбирать точку пересечения оси балки с проведенным сечением.

Рисунок 25 – Метод сечений

Сечение I-I на участке АС, 0 ˂ z ˂ 2,5 (рисунок 25, а)

∑F_y = 0,

- F – Q_y = 0,

Q_y = - F= - 15 кН.

Q_y(z) – const ( от z не зависит):

∑ m_k (F) = 0, -F∙z -M_x=0,

M_x = - F∙z ;

М_x(z) –линейная функция z, график которой можно построить по двум точкам (удобно выбирать координаты крайних сечений участка):

z= 0, M_x = 0.

z = 2,5 м, M_x = -15∙2,5= -37,5 кН∙м.

Сечение II-II на участке СВ, 2,5 ˂ z ˂ 7,5 (рисунок 25,б)

∑F_y = 0, - F + R_c – q(z - l/2) - Q_y=0.

Q_y = - F + R_c - q(z - l/2) = Q(z*)

Q_y(z) – линейная функция z (график строится по двум точкам):

Z = 2,5 м, Q_y = -F + R_c = -15 +76,5 = 61,5 кН,

Z = 7,5 м, Q_y = - 15 +76,5 – 20(7,5 - 2,5) = -38,5 кН;

∑ *m_k (F) = 0, -F∙z - m + R_c (z - l/2) - q (z - l/2)²/2 - М_x=0,

М_x = -F∙z – m + R_c (z - l/2) – q (z - l/2)²/2.

М_x(z) –квадратичная функция z (квадратная парабола), график которой строится по трем точкам, как правило, двум крайним:

Z = 2,5 м, М_x = -15∙2,5 – 20 = -57,5 кН∙м.

Z = 7,5 м, М_x = -15∙2,5 – 20+20∙5²/2= 0

в точке экстремума (если она есть)

Функция М(z) имеет экстремум при z *, где Q(z*) = 0.

Так как существует дифференциальная зависимость dМ / dz=Q

Координата точки экстремума z *, определяется из условий

Q_z = 0. В примере на участке СВ:

Q_у(z*) = dM_x / dz = - F + R_c – q (z - l/2) =0 (функция экстремума)

Откуда z* = (- F + R_c + q∙ l/2) /q = (- 15+76,5 +20∙ 5/2)/20 = 5,575 м.

Экстремальное значение изгибающего момента на участке СВ равно:

М_еxtr = М_x(z*)= - Fz* - m + R_c (z* -l/2) - q (z*- l/2)²/2 = 37,1 кН∙м.

В случае отсутствия экстремума допускается построение эпюры M_x(z) по двум крайним точкам участка.

По найденным значениям строятся эпюры Q_y и M_x (рисунок 15) причем построение начинается с Q_y (для выявления возможных экстремумов М_х). Положительные ординаты эпюры поперечной силы откладываем вверх от числовой оси, а отрицательные – вниз (т.е.) так, как принято в математике).

Ординаты эпюры изгибающих моментов принято откладывать со стороны сжатых волокон балки, т.е. положительные ординаты откладываем вверх от оси z, отрицательные – вниз.

Рисунок 26 – Эпюры Q_у и М_x

После построения эпюр Q_у и М_x выполняется их проверка по дифференциальным зависимостям (дифференциальным уравнениям равновесия)

dQ_y / d_x = q, dM_x / dz = Q_y.

Проверка состоит в отсутствии противоречий между этими зависимостями и построенными графиками.

На участках балки, где распределенная нагрузка отсутствует (q = 0). Поперечные силы постоянны, а изгибающие моменты изменяются по линейному закону (в примере участок АС).

Скачки на эпюре Q_y возникают в сечениях, где на балку действуют вертикальные сосредоточенные силы ( в примере сечения А, С, В). Величина скачка равна величине силы. Скачки на эпюре M_x возникают в сечениях, где на балку действуют сосредоточенные моменты (в примере сечение С). Величина скачка равна величине момента.

На участках с постоянной распределенной нагрузкой (q≠0) поперечные силы изменяются по линейному закону, а изгибающие моменты – по квадратичному (в примере участок СВ). При этом парабола направлена вогнутостью навстречу q («правило паруса»)

После проверки правильности эпюр определяются опасные сечения, что является основой целью построения эпюр.

3.Проверка прочности подобранного сечения

Допускаемое напряжение для стали: [Ϭ_т] =240 МПа.

Условие прочности при прямом поперечном изгибе позволяет выполнить проектный расчет и определить необходимую величину момента сопротивления изгибу W_х = ≥ = = 239∙10^-6 м³= 239 см³.

Из эпюры видно, что максимальный изгибающий момент М_х=57,5 кН∙м.

Согласно ГОСТ 8239-89 (приложение I) выбирается номер профиля №22а с W_х = 254 см^{3 .}

Проверяем прочность подобранного сечения:

Ϭ = = = 227∙10 ⁶ Па = 227 МПа ˂ [Ϭ_т] = 240 МПа.

Прочность сечения обеспечена.